Integral de (7-x)^23 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 7 - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- u^{23}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{23}\, du = - \int u^{23}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{23}\, du = \frac{u^{24}}{24}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{24}}{24}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(7 - x\right)^{24}}{24}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(7 - x\right)^{23} = - x^{23} + 161 x^{22} - 12397 x^{21} + 607453 x^{20} - 21260855 x^{19} + 565538743 x^{18} - 11876313603 x^{17} + 201897331251 x^{16} - 2826562637514 x^{15} + 32976564104330 x^{14} - 323170328222434 x^{13} + 2673499988021954 x^{12} - 18714499916153678 x^{11} + 110847422580294862 x^{10} - 554237112901474310 x^{9} + 2327795874186192102 x^{8} - 8147285559651672357 x^{7} + 23483352495466585029 x^{6} - 54794489156088698401 x^{5} + 100937216866479181265 x^{4} - 141312103613070853771 x^{3} + 141312103613070853771 x^{2} - 89925884117408725127 x + 27368747340080916343$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{23}\right)\, dx = - \int x^{23}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{23}\, dx = \frac{x^{24}}{24}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{24}}{24}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 161 x^{22}\, dx = 161 \int x^{22}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{22}\, dx = \frac{x^{23}}{23}$

         Por lo tanto, el resultado es: $7 x^{23}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 12397 x^{21}\right)\, dx = - 12397 \int x^{21}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{21}\, dx = \frac{x^{22}}{22}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1127 x^{22}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 607453 x^{20}\, dx = 607453 \int x^{20}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{20}\, dx = \frac{x^{21}}{21}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{86779 x^{21}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 21260855 x^{19}\right)\, dx = - 21260855 \int x^{19}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{19}\, dx = \frac{x^{20}}{20}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4252171 x^{20}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 565538743 x^{18}\, dx = 565538743 \int x^{18}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{18}\, dx = \frac{x^{19}}{19}$

         Por lo tanto, el resultado es: $29765197 x^{19}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 11876313603 x^{17}\right)\, dx = - 11876313603 \int x^{17}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3958771201 x^{18}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 201897331251 x^{16}\, dx = 201897331251 \int x^{16}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{16}\, dx = \frac{x^{17}}{17}$

         Por lo tanto, el resultado es: $11876313603 x^{17}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2826562637514 x^{15}\right)\, dx = - 2826562637514 \int x^{15}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1413281318757 x^{16}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 32976564104330 x^{14}\, dx = 32976564104330 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6595312820866 x^{15}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 323170328222434 x^{13}\right)\, dx = - 323170328222434 \int x^{13}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 23083594873031 x^{14}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2673499988021954 x^{12}\, dx = 2673499988021954 \int x^{12}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $205653845232458 x^{13}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 18714499916153678 x^{11}\right)\, dx = - 18714499916153678 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9357249958076839 x^{12}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 110847422580294862 x^{10}\, dx = 110847422580294862 \int x^{10}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $10077038416390442 x^{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 554237112901474310 x^{9}\right)\, dx = - 554237112901474310 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 55423711290147431 x^{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2327795874186192102 x^{8}\, dx = 2327795874186192102 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{775931958062064034 x^{9}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 8147285559651672357 x^{7}\right)\, dx = - 8147285559651672357 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8147285559651672357 x^{8}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 23483352495466585029 x^{6}\, dx = 23483352495466585029 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3354764642209512147 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 54794489156088698401 x^{5}\right)\, dx = - 54794489156088698401 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{54794489156088698401 x^{6}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 100937216866479181265 x^{4}\, dx = 100937216866479181265 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $20187443373295836253 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 141312103613070853771 x^{3}\right)\, dx = - 141312103613070853771 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{141312103613070853771 x^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 141312103613070853771 x^{2}\, dx = 141312103613070853771 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{141312103613070853771 x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 89925884117408725127 x\right)\, dx = - 89925884117408725127 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{89925884117408725127 x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 27368747340080916343\, dx = 27368747340080916343 x$

      El resultado es: $- \frac{x^{24}}{24} + 7 x^{23} - \frac{1127 x^{22}}{2} + \frac{86779 x^{21}}{3} - \frac{4252171 x^{20}}{4} + 29765197 x^{19} - \frac{3958771201 x^{18}}{6} + 11876313603 x^{17} - \frac{1413281318757 x^{16}}{8} + \frac{6595312820866 x^{15}}{3} - 23083594873031 x^{14} + 205653845232458 x^{13} - \frac{9357249958076839 x^{12}}{6} + 10077038416390442 x^{11} - 55423711290147431 x^{10} + \frac{775931958062064034 x^{9}}{3} - \frac{8147285559651672357 x^{8}}{8} + 3354764642209512147 x^{7} - \frac{54794489156088698401 x^{6}}{6} + 20187443373295836253 x^{5} - \frac{141312103613070853771 x^{4}}{4} + \frac{141312103613070853771 x^{3}}{3} - \frac{89925884117408725127 x^{2}}{2} + 27368747340080916343 x$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(x - 7\right)^{24}}{24}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(x - 7\right)^{24}}{24}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(x - 7\right)^{24}}{24}+ \mathrm{constant}$