Integral de (x^6)/(4x^(7)+7) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 4 x^{7} + 7$.

      Luego que $du = 28 x^{6} dx$ y ponemos $\frac{du}{28}$:

      $\int \frac{1}{28 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{28}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{28}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(4 x^{7} + 7 \right)}}{28}$

   Método #2

   1. que $u = x^{7}$.

      Luego que $du = 7 x^{6} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{28 u + 49}\, du$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 28 u + 49$.

            Luego que $du = 28 du$ y ponemos $\frac{du}{28}$:

            $\int \frac{1}{28 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{28}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{28}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(28 u + 49 \right)}}{28}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{28 u + 49} = \frac{1}{7 \left(4 u + 7\right)}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{7 \left(4 u + 7\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{4 u + 7}\, du}{7}$

            1. que $u = 4 u + 7$.

               Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

               $\int \frac{1}{4 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(4 u + 7 \right)}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(4 u + 7 \right)}}{28}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(28 x^{7} + 49 \right)}}{28}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\log{\left(4 x^{7} + 7 \right)}}{28}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(4 x^{7} + 7 \right)}}{28}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(4 x^{7} + 7 \right)}}{28}+ \mathrm{constant}$