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Resolución de integrales/ e^(-t)/ e^(-t)*sent

Integral de e^(-t)*sent dt

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1              
  /              
 |               
 |   -t          
 |  E  *sin(t) dt
 |               
/                
0
∫01e−tsin⁡(t) dt\int\limits_{0}^{1} e^{- t} \sin{\left(t \right)}\, dt 
Integral(E^(-t)*sin(t), (t, 0, 1))
Solución detallada

  1. que u=−tu = - t.

    Luego que du=−dtdu = - dt y ponemos dudu:

    ∫eusin⁡(u) du\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du

    1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

      1. Para el integrando eusin⁡(u)e^{u} \sin{\left(u \right)}:

        que u(u)=sin⁡(u)u{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

        Entonces ∫eusin⁡(u) du=eusin⁡(u)−∫eucos⁡(u) du\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du.

      2. Para el integrando eucos⁡(u)e^{u} \cos{\left(u \right)}:

        que u(u)=cos⁡(u)u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

        Entonces ∫eusin⁡(u) du=eusin⁡(u)−eucos⁡(u)+∫(−eusin⁡(u)) du\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du.

      3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

        2∫eusin⁡(u) du=eusin⁡(u)−eucos⁡(u)2 \int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)}

        Por lo tanto,

        ∫eusin⁡(u) du=eusin⁡(u)2−eucos⁡(u)2\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}

    Si ahora sustituir uu más en:

    −e−tsin⁡(t)2−e−tcos⁡(t)2- \frac{e^{- t} \sin{\left(t \right)}}{2} - \frac{e^{- t} \cos{\left(t \right)}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    −2e−tsin⁡(t+π4)2- \frac{\sqrt{2} e^{- t} \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −2e−tsin⁡(t+π4)2+constant- \frac{\sqrt{2} e^{- t} \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−2e−tsin⁡(t+π4)2+constant- \frac{\sqrt{2} e^{- t} \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                           
 |                             -t    -t       
 |  -t                 cos(t)*e     e  *sin(t)
 | E  *sin(t) dt = C - ---------- - ----------
 |                         2            2     
/
∫e−tsin⁡(t) dt=C−e−tsin⁡(t)2−e−tcos⁡(t)2\int e^{- t} \sin{\left(t \right)}\, dt = C - \frac{e^{- t} \sin{\left(t \right)}}{2} - \frac{e^{- t} \cos{\left(t \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901.0-1.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
            -1    -1       
1   cos(1)*e     e  *sin(1)
- - ---------- - ----------
2       2            2
−sin⁡(1)2e−cos⁡(1)2e+12- \frac{\sin{\left(1 \right)}}{2 e} - \frac{\cos{\left(1 \right)}}{2 e} + \frac{1}{2} 
=
= 
            -1    -1       
1   cos(1)*e     e  *sin(1)
- - ---------- - ----------
2       2            2
−sin⁡(1)2e−cos⁡(1)2e+12- \frac{\sin{\left(1 \right)}}{2 e} - \frac{\cos{\left(1 \right)}}{2 e} + \frac{1}{2} 
1/2 - cos(1)*exp(-1)/2 - exp(-1)*sin(1)/2
Respuesta numérica [src] 
0.245837007000237
0.245837007000237

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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