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Resolución de integrales/ sec^3/ tan^3/ tan^3x×sec^3x

Integral de tan^3x×sec^3x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
  /                   
 |                    
 |     3       3      
 |  tan (x)*sec (x) dx
 |                    
/                     
0
∫01tan⁡3(x)sec⁡3(x) dx\int\limits_{0}^{1} \tan^{3}{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)}\, dx 
Integral(tan(x)^3*sec(x)^3, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    tan⁡3(x)sec⁡3(x)=(sec⁡2(x)−1)tan⁡(x)sec⁡3(x)\tan^{3}{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)} = \left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \tan{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

      Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

      ∫(u4−u2) du\int \left(u^{4} - u^{2}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−u2) du=−∫u2 du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

        El resultado es: u55−u33\frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      sec⁡5(x)5−sec⁡3(x)3\frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\sec^{3}{\left(x \right)}}{3}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sec⁡2(x)−1)tan⁡(x)sec⁡3(x)=tan⁡(x)sec⁡5(x)−tan⁡(x)sec⁡3(x)\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \tan{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

        Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫u4 du\int u^{4}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sec⁡5(x)5\frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−tan⁡(x)sec⁡3(x)) dx=−∫tan⁡(x)sec⁡3(x) dx\int \left(- \tan{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \tan{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

          Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u2 du\int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sec⁡3(x)3\frac{\sec^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −sec⁡3(x)3- \frac{\sec^{3}{\left(x \right)}}{3}

      El resultado es: sec⁡5(x)5−sec⁡3(x)3\frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\sec^{3}{\left(x \right)}}{3}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sec⁡2(x)−1)tan⁡(x)sec⁡3(x)=tan⁡(x)sec⁡5(x)−tan⁡(x)sec⁡3(x)\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \tan{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

        Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫u4 du\int u^{4}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sec⁡5(x)5\frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−tan⁡(x)sec⁡3(x)) dx=−∫tan⁡(x)sec⁡3(x) dx\int \left(- \tan{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \tan{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

          Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u2 du\int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sec⁡3(x)3\frac{\sec^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −sec⁡3(x)3- \frac{\sec^{3}{\left(x \right)}}{3}

      El resultado es: sec⁡5(x)5−sec⁡3(x)3\frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\sec^{3}{\left(x \right)}}{3}

  3. Añadimos la constante de integración:

    sec⁡5(x)5−sec⁡3(x)3+constant\frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\sec^{3}{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

sec⁡5(x)5−sec⁡3(x)3+constant\frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\sec^{3}{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                          
 |                             3         5   
 |    3       3             sec (x)   sec (x)
 | tan (x)*sec (x) dx = C - ------- + -------
 |                             3         5   
/
∫tan⁡3(x)sec⁡3(x) dx=C+sec⁡5(x)5−sec⁡3(x)3\int \tan^{3}{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\sec^{3}{\left(x \right)}}{3}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-2525
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
               2   
2    -3 + 5*cos (1)
-- - --------------
15           5     
       15*cos (1)
215−−3+5cos⁡2(1)15cos⁡5(1)\frac{2}{15} - \frac{-3 + 5 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{15 \cos^{5}{\left(1 \right)}} 
=
= 
               2   
2    -3 + 5*cos (1)
-- - --------------
15           5     
       15*cos (1)
215−−3+5cos⁡2(1)15cos⁡5(1)\frac{2}{15} - \frac{-3 + 5 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{15 \cos^{5}{\left(1 \right)}} 
2/15 - (-3 + 5*cos(1)^2)/(15*cos(1)^5)
Respuesta numérica [src] 
2.36355929817875
2.36355929817875

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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