Integral de 12x^2*(3-x^3)^10 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 - x^{3}$.

      Luego que $du = - 3 x^{2} dx$ y ponemos $- 4 du$:

      $\int \left(- 4 u^{10}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{10}\, du = - 4 \int u^{10}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 u^{11}}{11}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{4 \left(3 - x^{3}\right)^{11}}{11}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $12 x^{2} \left(3 - x^{3}\right)^{10} = 12 x^{32} - 360 x^{29} + 4860 x^{26} - 38880 x^{23} + 204120 x^{20} - 734832 x^{17} + 1837080 x^{14} - 3149280 x^{11} + 3542940 x^{8} - 2361960 x^{5} + 708588 x^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 12 x^{32}\, dx = 12 \int x^{32}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{32}\, dx = \frac{x^{33}}{33}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{33}}{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 360 x^{29}\right)\, dx = - 360 \int x^{29}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{29}\, dx = \frac{x^{30}}{30}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 12 x^{30}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4860 x^{26}\, dx = 4860 \int x^{26}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{26}\, dx = \frac{x^{27}}{27}$

         Por lo tanto, el resultado es: $180 x^{27}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 38880 x^{23}\right)\, dx = - 38880 \int x^{23}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{23}\, dx = \frac{x^{24}}{24}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 1620 x^{24}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 204120 x^{20}\, dx = 204120 \int x^{20}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{20}\, dx = \frac{x^{21}}{21}$

         Por lo tanto, el resultado es: $9720 x^{21}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 734832 x^{17}\right)\, dx = - 734832 \int x^{17}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 40824 x^{18}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1837080 x^{14}\, dx = 1837080 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $122472 x^{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3149280 x^{11}\right)\, dx = - 3149280 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 262440 x^{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3542940 x^{8}\, dx = 3542940 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $393660 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2361960 x^{5}\right)\, dx = - 2361960 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 393660 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 708588 x^{2}\, dx = 708588 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $236196 x^{3}$

      El resultado es: $\frac{4 x^{33}}{11} - 12 x^{30} + 180 x^{27} - 1620 x^{24} + 9720 x^{21} - 40824 x^{18} + 122472 x^{15} - 262440 x^{12} + 393660 x^{9} - 393660 x^{6} + 236196 x^{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{4 \left(x^{3} - 3\right)^{11}}{11}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 \left(x^{3} - 3\right)^{11}}{11}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 \left(x^{3} - 3\right)^{11}}{11}+ \mathrm{constant}$