Integral de (4-x^2)^(3/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(4 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}} = - x^{2} \sqrt{4 - x^{2}} + 4 \sqrt{4 - x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}\right)\, dx = - \int x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}\, dx$

         TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=2*sin(_theta), rewritten=2 - 2*cos(4*_theta), substep=AddRule(substeps=[ConstantRule(constant=2, context=2, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=-2, other=cos(4*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=4*_theta, constant=1/4, substep=ConstantTimesRule(constant=1/4, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(4*_theta), symbol=_theta), context=-2*cos(4*_theta), symbol=_theta)], context=2 - 2*cos(4*_theta), symbol=_theta), restriction=(x > -2) & (x < 2), context=x**2*sqrt(4 - x**2), symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $- \begin{cases} - \frac{x \left(1 - \frac{x^{2}}{2}\right) \sqrt{4 - x^{2}}}{2} + 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 \sqrt{4 - x^{2}}\, dx = 4 \int \sqrt{4 - x^{2}}\, dx$

         TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=2*sin(_theta), rewritten=4*cos(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=4, other=cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=4*cos(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x > -2) & (x < 2), context=sqrt(4 - x**2), symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $4 \left(\begin{cases} \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{2} + 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}\right)$

      El resultado es: $4 \left(\begin{cases} \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{2} + 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}\right) - \begin{cases} - \frac{x \left(1 - \frac{x^{2}}{2}\right) \sqrt{4 - x^{2}}}{2} + 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(4 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}} = - x^{2} \sqrt{4 - x^{2}} + 4 \sqrt{4 - x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}\right)\, dx = - \int x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}\, dx$

         TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=2*sin(_theta), rewritten=2 - 2*cos(4*_theta), substep=AddRule(substeps=[ConstantRule(constant=2, context=2, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=-2, other=cos(4*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=4*_theta, constant=1/4, substep=ConstantTimesRule(constant=1/4, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(4*_theta), symbol=_theta), context=-2*cos(4*_theta), symbol=_theta)], context=2 - 2*cos(4*_theta), symbol=_theta), restriction=(x > -2) & (x < 2), context=x**2*sqrt(4 - x**2), symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $- \begin{cases} - \frac{x \left(1 - \frac{x^{2}}{2}\right) \sqrt{4 - x^{2}}}{2} + 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 \sqrt{4 - x^{2}}\, dx = 4 \int \sqrt{4 - x^{2}}\, dx$

         TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=2*sin(_theta), rewritten=4*cos(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=4, other=cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=4*cos(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x > -2) & (x < 2), context=sqrt(4 - x**2), symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $4 \left(\begin{cases} \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{2} + 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}\right)$

      El resultado es: $4 \left(\begin{cases} \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{2} + 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}\right) - \begin{cases} - \frac{x \left(1 - \frac{x^{2}}{2}\right) \sqrt{4 - x^{2}}}{2} + 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}$

2. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} - \frac{x^{3} \sqrt{4 - x^{2}}}{4} + \frac{5 x \sqrt{4 - x^{2}}}{2} + 6 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} - \frac{x^{3} \sqrt{4 - x^{2}}}{4} + \frac{5 x \sqrt{4 - x^{2}}}{2} + 6 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} - \frac{x^{3} \sqrt{4 - x^{2}}}{4} + \frac{5 x \sqrt{4 - x^{2}}}{2} + 6 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}+ \mathrm{constant}$