Integral de 9x*cos(3*x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 x$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $du$:

      $\int u \cos{\left(u \right)}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del seno es un coseno menos:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $3 x \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = 9 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 9$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = 3 x$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 3 \sin{\left(3 x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(3 x \right)}\, dx$

      1. que $u = 3 x$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \cos{\left(3 x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $3 x \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$3 x \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}+ \mathrm{constant}$