Sr Examen

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Resolución de integrales/ t^2+2/ e^(5-t)(t^2+21t+90)

Integral de e^(5-t)(t^2+21t+90) dt

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  x                           
  /                           
 |                            
 |   5 - t / 2            \   
 |  E     *\t  + 21*t + 90/ dt
 |                            
/                             
-22
∫−22xe5−t((t2+21t)+90) dt\int\limits_{-22}^{x} e^{5 - t} \left(\left(t^{2} + 21 t\right) + 90\right)\, dt 
Integral(E^(5 - t)*(t^2 + 21*t + 90), (t, -22, x))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e5−t((t2+21t)+90)=t2e5e−t+21te5e−t+90e5e−te^{5 - t} \left(\left(t^{2} + 21 t\right) + 90\right) = t^{2} e^{5} e^{- t} + 21 t e^{5} e^{- t} + 90 e^{5} e^{- t}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫t2e5e−t dt=e5∫t2e−t dt\int t^{2} e^{5} e^{- t}\, dt = e^{5} \int t^{2} e^{- t}\, dt

        1. que u=−tu = - t.

          Luego que du=−dtdu = - dt y ponemos −du- du:

          ∫(−u2eu) du\int \left(- u^{2} e^{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u2eu du=−∫u2eu du\int u^{2} e^{u}\, du = - \int u^{2} e^{u}\, du

            1. Usamos la integración por partes:

              ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

              que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

              Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

              Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Ahora resolvemos podintegral.

            2. Usamos la integración por partes:

              ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

              que u(u)=2uu{\left(u \right)} = 2 u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

              Entonces du⁡(u)=2\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2.

              Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Ahora resolvemos podintegral.

            3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫2eu du=2∫eu du\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −u2eu+2ueu−2eu- u^{2} e^{u} + 2 u e^{u} - 2 e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −t2e−t−2te−t−2e−t- t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} - 2 e^{- t}

        Por lo tanto, el resultado es: (−t2e−t−2te−t−2e−t)e5\left(- t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} - 2 e^{- t}\right) e^{5}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫21te5e−t dt=21e5∫te−t dt\int 21 t e^{5} e^{- t}\, dt = 21 e^{5} \int t e^{- t}\, dt

        1. que u=−tu = - t.

          Luego que du=−dtdu = - dt y ponemos dudu:

          ∫ueu du\int u e^{u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −te−t−e−t- t e^{- t} - e^{- t}

        Por lo tanto, el resultado es: 21(−te−t−e−t)e521 \left(- t e^{- t} - e^{- t}\right) e^{5}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫90e5e−t dt=90e5∫e−t dt\int 90 e^{5} e^{- t}\, dt = 90 e^{5} \int e^{- t}\, dt

        1. que u=−tu = - t.

          Luego que du=−dtdu = - dt y ponemos −du- du:

          ∫(−eu) du\int \left(- e^{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu- e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−t- e^{- t}

        Por lo tanto, el resultado es: −90e5e−t- 90 e^{5} e^{- t}

      El resultado es: 21(−te−t−e−t)e5+(−t2e−t−2te−t−2e−t)e5−90e5e−t21 \left(- t e^{- t} - e^{- t}\right) e^{5} + \left(- t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} - 2 e^{- t}\right) e^{5} - 90 e^{5} e^{- t}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e5−t((t2+21t)+90)=t2e5e−t+21te5e−t+90e5e−te^{5 - t} \left(\left(t^{2} + 21 t\right) + 90\right) = t^{2} e^{5} e^{- t} + 21 t e^{5} e^{- t} + 90 e^{5} e^{- t}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫t2e5e−t dt=e5∫t2e−t dt\int t^{2} e^{5} e^{- t}\, dt = e^{5} \int t^{2} e^{- t}\, dt

        1. que u=−tu = - t.

          Luego que du=−dtdu = - dt y ponemos −du- du:

          ∫(−u2eu) du\int \left(- u^{2} e^{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u2eu du=−∫u2eu du\int u^{2} e^{u}\, du = - \int u^{2} e^{u}\, du

            1. Usamos la integración por partes:

              ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

              que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

              Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

              Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Ahora resolvemos podintegral.

            2. Usamos la integración por partes:

              ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

              que u(u)=2uu{\left(u \right)} = 2 u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

              Entonces du⁡(u)=2\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2.

              Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Ahora resolvemos podintegral.

            3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫2eu du=2∫eu du\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −u2eu+2ueu−2eu- u^{2} e^{u} + 2 u e^{u} - 2 e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −t2e−t−2te−t−2e−t- t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} - 2 e^{- t}

        Por lo tanto, el resultado es: (−t2e−t−2te−t−2e−t)e5\left(- t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} - 2 e^{- t}\right) e^{5}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫21te5e−t dt=21e5∫te−t dt\int 21 t e^{5} e^{- t}\, dt = 21 e^{5} \int t e^{- t}\, dt

        1. que u=−tu = - t.

          Luego que du=−dtdu = - dt y ponemos dudu:

          ∫ueu du\int u e^{u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −te−t−e−t- t e^{- t} - e^{- t}

        Por lo tanto, el resultado es: 21(−te−t−e−t)e521 \left(- t e^{- t} - e^{- t}\right) e^{5}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫90e5e−t dt=90e5∫e−t dt\int 90 e^{5} e^{- t}\, dt = 90 e^{5} \int e^{- t}\, dt

        1. que u=−tu = - t.

          Luego que du=−dtdu = - dt y ponemos −du- du:

          ∫(−eu) du\int \left(- e^{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu- e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−t- e^{- t}

        Por lo tanto, el resultado es: −90e5e−t- 90 e^{5} e^{- t}

      El resultado es: 21(−te−t−e−t)e5+(−t2e−t−2te−t−2e−t)e5−90e5e−t21 \left(- t e^{- t} - e^{- t}\right) e^{5} + \left(- t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} - 2 e^{- t}\right) e^{5} - 90 e^{5} e^{- t}

  2. Ahora simplificar:

    −(t2+23t+113)e5−t- \left(t^{2} + 23 t + 113\right) e^{5 - t}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −(t2+23t+113)e5−t+constant- \left(t^{2} + 23 t + 113\right) e^{5 - t}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−(t2+23t+113)e5−t+constant- \left(t^{2} + 23 t + 113\right) e^{5 - t}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                    
 |                                                                                                     
 |  5 - t / 2            \          /     -t    2  -t        -t\  5       5  -t      /   -t      -t\  5
 | E     *\t  + 21*t + 90/ dt = C + \- 2*e   - t *e   - 2*t*e  /*e  - 90*e *e   + 21*\- e   - t*e  /*e 
 |                                                                                                     
/
∫e5−t((t2+21t)+90) dt=C+21(−te−t−e−t)e5+(−t2e−t−2te−t−2e−t)e5−90e5e−t\int e^{5 - t} \left(\left(t^{2} + 21 t\right) + 90\right)\, dt = C + 21 \left(- t e^{- t} - e^{- t}\right) e^{5} + \left(- t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} - 2 e^{- t}\right) e^{5} - 90 e^{5} e^{- t}
Simplificar
Respuesta [src] 
    27   /        2       \  5 - x
91*e   + \-113 - x  - 23*x/*e
(−x2−23x−113)e5−x+91e27\left(- x^{2} - 23 x - 113\right) e^{5 - x} + 91 e^{27} 
=
= 
    27   /        2       \  5 - x
91*e   + \-113 - x  - 23*x/*e
(−x2−23x−113)e5−x+91e27\left(- x^{2} - 23 x - 113\right) e^{5 - x} + 91 e^{27} 
91*exp(27) + (-113 - x^2 - 23*x)*exp(5 - x)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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