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Resolución de integrales/ (x+1)/ (2x^2)/ (x+1)/((2x^2)+2x+1)

Integral de (x+1)/((2x^2)+2x+1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                  
  /                  
 |                   
 |      x + 1        
 |  -------------- dx
 |     2             
 |  2*x  + 2*x + 1   
 |                   
/                    
0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x + 1}{\left(2 x^{2} + 2 x\right) + 1}\, dx$$ 
Integral((x + 1)/(2*x^2 + 2*x + 1), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /                 
 |                  
 |     x + 1        
 | -------------- dx
 |    2             
 | 2*x  + 2*x + 1   
 |                  
/
Reescribimos la función subintegral
                 /  2*2*x + 2   \                  
                 |--------------|       /  1  \    
                 |   2          |       |-----|    
    x + 1        \2*x  + 2*x + 1/       \2*1/2/    
-------------- = ---------------- + ---------------
   2                    4                     2    
2*x  + 2*x + 1                      (-2*x - 1)  + 1
o
  /                   
 |                    
 |     x + 1          
 | -------------- dx  
 |    2              =
 | 2*x  + 2*x + 1     
 |                    
/                     
  
  /                                         
 |                                          
 |   2*2*x + 2                              
 | -------------- dx                        
 |    2                                     
 | 2*x  + 2*x + 1        /                  
 |                      |                   
/                       |        1          
-------------------- +  | --------------- dx
         4              |           2       
                        | (-2*x - 1)  + 1   
                        |                   
                       /
En integral
  /                 
 |                  
 |   2*2*x + 2      
 | -------------- dx
 |    2             
 | 2*x  + 2*x + 1   
 |                  
/                   
--------------------
         4
hacemos el cambio
             2
u = 2*x + 2*x
entonces
integral =
  /                     
 |                      
 |   1                  
 | ----- du             
 | 1 + u                
 |                      
/             log(1 + u)
----------- = ----------
     4            4
hacemos cambio inverso
  /                                       
 |                                        
 |   2*2*x + 2                            
 | -------------- dx                      
 |    2                                   
 | 2*x  + 2*x + 1                         
 |                        /             2\
/                      log\1 + 2*x + 2*x /
-------------------- = -------------------
         4                      4
En integral
  /                  
 |                   
 |        1          
 | --------------- dx
 |           2       
 | (-2*x - 1)  + 1   
 |                   
/
hacemos el cambio
v = -1 - 2*x
entonces
integral =
  /                   
 |                    
 |   1                
 | ------ dv = atan(v)
 |      2             
 | 1 + v              
 |                    
/
hacemos cambio inverso
  /                                  
 |                                   
 |        1             atan(1 + 2*x)
 | --------------- dx = -------------
 |           2                2      
 | (-2*x - 1)  + 1                   
 |                                   
/
La solución:
                       /1        2\
                    log|- + x + x |
    atan(1 + 2*x)      \2         /
C + ------------- + ---------------
          2                4
Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                           
 |                                            /             2\
 |     x + 1               atan(1 + 2*x)   log\1 + 2*x + 2*x /
 | -------------- dx = C + ------------- + -------------------
 |    2                          2                  4         
 | 2*x  + 2*x + 1                                             
 |                                                            
/
$$\int \frac{x + 1}{\left(2 x^{2} + 2 x\right) + 1}\, dx = C + \frac{\log{\left(2 x^{2} + 2 x + 1 \right)}}{4} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + 1 \right)}}{2}$$
Simplificar
Gráfica
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
atan(3)   pi   log(2)   log(5/2)
------- - -- + ------ + --------
   2      8      4         4
$$- \frac{\pi}{8} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(\frac{5}{2} \right)}}{4} + \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{2}$$ 
=
= 
atan(3)   pi   log(2)   log(5/2)
------- - -- + ------ + --------
   2      8      4         4
$$- \frac{\pi}{8} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(\frac{5}{2} \right)}}{4} + \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{2}$$ 
atan(3)/2 - pi/8 + log(2)/4 + log(5/2)/4
Respuesta numérica [src] 
0.634183282608928
0.634183282608928

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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