Sr Examen
Integral de (x+1)/((2x^2)+2x+1) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | x + 1 | -------------- dx | 2 | 2*x + 2*x + 1 | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x + 1}{\left(2 x^{2} + 2 x\right) + 1}\, dx$$
Integral((x + 1)/(2*x^2 + 2*x + 1), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | x + 1 | -------------- dx | 2 | 2*x + 2*x + 1 | /
Reescribimos la función subintegral
/ 2*2*x + 2 \
|--------------| / 1 \
| 2 | |-----|
x + 1 \2*x + 2*x + 1/ \2*1/2/
-------------- = ---------------- + ---------------
2 4 2
2*x + 2*x + 1 (-2*x - 1) + 1o
/ | | x + 1 | -------------- dx | 2 = | 2*x + 2*x + 1 | /
/
|
| 2*2*x + 2
| -------------- dx
| 2
| 2*x + 2*x + 1 /
| |
/ | 1
-------------------- + | --------------- dx
4 | 2
| (-2*x - 1) + 1
|
/ En integral
/
|
| 2*2*x + 2
| -------------- dx
| 2
| 2*x + 2*x + 1
|
/
--------------------
4 hacemos el cambio
2 u = 2*x + 2*x
entonces
integral =
/
|
| 1
| ----- du
| 1 + u
|
/ log(1 + u)
----------- = ----------
4 4 hacemos cambio inverso
/
|
| 2*2*x + 2
| -------------- dx
| 2
| 2*x + 2*x + 1
| / 2\
/ log\1 + 2*x + 2*x /
-------------------- = -------------------
4 4 En integral
/ | | 1 | --------------- dx | 2 | (-2*x - 1) + 1 | /
hacemos el cambio
v = -1 - 2*x
entonces
integral =
/ | | 1 | ------ dv = atan(v) | 2 | 1 + v | /
hacemos cambio inverso
/ | | 1 atan(1 + 2*x) | --------------- dx = ------------- | 2 2 | (-2*x - 1) + 1 | /
La solución:
/1 2\
log|- + x + x |
atan(1 + 2*x) \2 /
C + ------------- + ---------------
2 4
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ | / 2\ | x + 1 atan(1 + 2*x) log\1 + 2*x + 2*x / | -------------- dx = C + ------------- + ------------------- | 2 2 4 | 2*x + 2*x + 1 | /
$$\int \frac{x + 1}{\left(2 x^{2} + 2 x\right) + 1}\, dx = C + \frac{\log{\left(2 x^{2} + 2 x + 1 \right)}}{4} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + 1 \right)}}{2}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
atan(3) pi log(2) log(5/2) ------- - -- + ------ + -------- 2 8 4 4
$$- \frac{\pi}{8} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(\frac{5}{2} \right)}}{4} + \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{2}$$
=
=
atan(3) pi log(2) log(5/2) ------- - -- + ------ + -------- 2 8 4 4
$$- \frac{\pi}{8} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(\frac{5}{2} \right)}}{4} + \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{2}$$
atan(3)/2 - pi/8 + log(2)/4 + log(5/2)/4
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.