Integral de (-x^3)/(x^2+4) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{u}{2 u + 8}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u}{2 u + 8}\, du = - \int \frac{u}{2 u + 8}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u}{2 u + 8} = \frac{1}{2} - \frac{2}{u + 4}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{2}{u + 4}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u + 4}\, du$

               1. que $u = u + 4$.

                  Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u + 4 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \log{\left(u + 4 \right)}$

            El resultado es: $\frac{u}{2} - 2 \log{\left(u + 4 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{2} + 2 \log{\left(u + 4 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{x^{2}}{2} + 2 \log{\left(x^{2} + 4 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(-1\right) x^{3}}{x^{2} + 4} = - x + \frac{4 x}{x^{2} + 4}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4 x}{x^{2} + 4}\, dx = 4 \int \frac{x}{x^{2} + 4}\, dx$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x}{x^{2} + 4}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 4}\, dx}{2}$

            1. que $u = x^{2} + 4$.

               Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x^{2} + 4 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} + 4 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(x^{2} + 4 \right)}$

      El resultado es: $- \frac{x^{2}}{2} + 2 \log{\left(x^{2} + 4 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x^{2}}{2} + 2 \log{\left(x^{2} + 4 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x^{2}}{2} + 2 \log{\left(x^{2} + 4 \right)}+ \mathrm{constant}$