Integral de 1-(8/(2x+2)^4) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{8}{\left(2 x + 2\right)^{4}}\right)\, dx = - 8 \int \frac{1}{\left(2 x + 2\right)^{4}}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{\left(2 x + 2\right)^{4}} = \frac{1}{16 \left(x + 1\right)^{4}}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{16 \left(x + 1\right)^{4}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{\left(x + 1\right)^{4}}\, dx}{16}$

            1. que $u = x + 1$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u^{4}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{1}{3 \left(x + 1\right)^{3}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{48 \left(x + 1\right)^{3}}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{\left(2 x + 2\right)^{4}} = \frac{1}{16 x^{4} + 64 x^{3} + 96 x^{2} + 64 x + 16}$

         2. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{16 x^{4} + 64 x^{3} + 96 x^{2} + 64 x + 16} = \frac{1}{16 \left(x + 1\right)^{4}}$

         3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{16 \left(x + 1\right)^{4}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{\left(x + 1\right)^{4}}\, dx}{16}$

            1. que $u = x + 1$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u^{4}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{1}{3 \left(x + 1\right)^{3}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{48 \left(x + 1\right)^{3}}$

         Método #3

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{\left(2 x + 2\right)^{4}} = \frac{1}{16 x^{4} + 64 x^{3} + 96 x^{2} + 64 x + 16}$

         2. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{16 x^{4} + 64 x^{3} + 96 x^{2} + 64 x + 16} = \frac{1}{16 \left(x + 1\right)^{4}}$

         3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{16 \left(x + 1\right)^{4}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{\left(x + 1\right)^{4}}\, dx}{16}$

            1. que $u = x + 1$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u^{4}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{1}{3 \left(x + 1\right)^{3}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{48 \left(x + 1\right)^{3}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{6 \left(x + 1\right)^{3}}$

   El resultado es: $x + \frac{1}{6 \left(x + 1\right)^{3}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x + \frac{1}{6 \left(x + 1\right)^{3}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x + \frac{1}{6 \left(x + 1\right)^{3}}+ \mathrm{constant}$