Integral de x+1/x(x^2+1) dx

1. Integramos término a término:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = x^{2}$.

         Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{u + 1}{2 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u + 1}{u}\, du = \frac{\int \frac{u + 1}{u}\, du}{2}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u + 1}{u} = 1 + \frac{1}{u}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               El resultado es: $u + \log{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{x^{2}}{2} + \frac{\log{\left(x^{2} \right)}}{2}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{2} + 1}{x} = x + \frac{1}{x}$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} + \log{\left(x \right)}$

   El resultado es: $x^{2} + \frac{\log{\left(x^{2} \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x^{2} + \frac{\log{\left(x^{2} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x^{2} + \frac{\log{\left(x^{2} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$