Integral de (7x-2)^6 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 7 x - 2$.

      Luego que $du = 7 dx$ y ponemos $\frac{du}{7}$:

      $\int \frac{u^{6}}{7}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{6}\, du = \frac{\int u^{6}\, du}{7}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{7}}{49}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(7 x - 2\right)^{7}}{49}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(7 x - 2\right)^{6} = 117649 x^{6} - 201684 x^{5} + 144060 x^{4} - 54880 x^{3} + 11760 x^{2} - 1344 x + 64$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 117649 x^{6}\, dx = 117649 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $16807 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 201684 x^{5}\right)\, dx = - 201684 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 33614 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 144060 x^{4}\, dx = 144060 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $28812 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 54880 x^{3}\right)\, dx = - 54880 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 13720 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 11760 x^{2}\, dx = 11760 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3920 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 1344 x\right)\, dx = - 1344 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 672 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 64\, dx = 64 x$

      El resultado es: $16807 x^{7} - 33614 x^{6} + 28812 x^{5} - 13720 x^{4} + 3920 x^{3} - 672 x^{2} + 64 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(7 x - 2\right)^{7}}{49}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(7 x - 2\right)^{7}}{49}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(7 x - 2\right)^{7}}{49}+ \mathrm{constant}$