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Resolución de integrales/ ln(2*x)/ ((1+3*ln(2*x))^3)/(2*x)

Integral de ((1+3*ln(2*x))^3)/(2*x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                     
  /                     
 |                      
 |                  3   
 |  (1 + 3*log(2*x))    
 |  ----------------- dx
 |         2*x          
 |                      
/                       
0
∫01(3log⁡(2x)+1)32x dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\left(3 \log{\left(2 x \right)} + 1\right)^{3}}{2 x}\, dx 
Integral((1 + 3*log(2*x))^3/((2*x)), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=3log⁡(2x)+1u = 3 \log{\left(2 x \right)} + 1.

      Luego que du=3dxxdu = \frac{3 dx}{x} y ponemos du6\frac{du}{6}:

      ∫u36 du\int \frac{u^{3}}{6}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u3 du=∫u3 du6\int u^{3}\, du = \frac{\int u^{3}\, du}{6}

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: u424\frac{u^{4}}{24}

      Si ahora sustituir uu más en:

      (3log⁡(2x)+1)424\frac{\left(3 \log{\left(2 x \right)} + 1\right)^{4}}{24}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3log⁡(2x)+1)32x=27log⁡(x)3+27log⁡(x)2+81log⁡(2)log⁡(x)2+9log⁡(x)+54log⁡(2)log⁡(x)+81log⁡(2)2log⁡(x)+1+9log⁡(2)+27log⁡(2)3+27log⁡(2)22x\frac{\left(3 \log{\left(2 x \right)} + 1\right)^{3}}{2 x} = \frac{27 \log{\left(x \right)}^{3} + 27 \log{\left(x \right)}^{2} + 81 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}^{2} + 9 \log{\left(x \right)} + 54 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)} + 81 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(x \right)} + 1 + 9 \log{\left(2 \right)} + 27 \log{\left(2 \right)}^{3} + 27 \log{\left(2 \right)}^{2}}{2 x}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫27log⁡(x)3+27log⁡(x)2+81log⁡(2)log⁡(x)2+9log⁡(x)+54log⁡(2)log⁡(x)+81log⁡(2)2log⁡(x)+1+9log⁡(2)+27log⁡(2)3+27log⁡(2)22x dx=∫27log⁡(x)3+27log⁡(x)2+81log⁡(2)log⁡(x)2+9log⁡(x)+54log⁡(2)log⁡(x)+81log⁡(2)2log⁡(x)+1+9log⁡(2)+27log⁡(2)3+27log⁡(2)2x dx2\int \frac{27 \log{\left(x \right)}^{3} + 27 \log{\left(x \right)}^{2} + 81 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}^{2} + 9 \log{\left(x \right)} + 54 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)} + 81 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(x \right)} + 1 + 9 \log{\left(2 \right)} + 27 \log{\left(2 \right)}^{3} + 27 \log{\left(2 \right)}^{2}}{2 x}\, dx = \frac{\int \frac{27 \log{\left(x \right)}^{3} + 27 \log{\left(x \right)}^{2} + 81 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}^{2} + 9 \log{\left(x \right)} + 54 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)} + 81 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(x \right)} + 1 + 9 \log{\left(2 \right)} + 27 \log{\left(2 \right)}^{3} + 27 \log{\left(2 \right)}^{2}}{x}\, dx}{2}

      1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

        Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

        ∫(−27log⁡(1u)3+27log⁡(1u)2+81log⁡(2)log⁡(1u)2+9log⁡(1u)+54log⁡(2)log⁡(1u)+81log⁡(2)2log⁡(1u)+1+9log⁡(2)+27log⁡(2)3+27log⁡(2)2u) du\int \left(- \frac{27 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} + 27 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 81 \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 9 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 54 \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 81 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1 + 9 \log{\left(2 \right)} + 27 \log{\left(2 \right)}^{3} + 27 \log{\left(2 \right)}^{2}}{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫27log⁡(1u)3+27log⁡(1u)2+81log⁡(2)log⁡(1u)2+9log⁡(1u)+54log⁡(2)log⁡(1u)+81log⁡(2)2log⁡(1u)+1+9log⁡(2)+27log⁡(2)3+27log⁡(2)2u du=−∫27log⁡(1u)3+27log⁡(1u)2+81log⁡(2)log⁡(1u)2+9log⁡(1u)+54log⁡(2)log⁡(1u)+81log⁡(2)2log⁡(1u)+1+9log⁡(2)+27log⁡(2)3+27log⁡(2)2u du\int \frac{27 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} + 27 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 81 \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 9 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 54 \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 81 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1 + 9 \log{\left(2 \right)} + 27 \log{\left(2 \right)}^{3} + 27 \log{\left(2 \right)}^{2}}{u}\, du = - \int \frac{27 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} + 27 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 81 \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 9 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 54 \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 81 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1 + 9 \log{\left(2 \right)} + 27 \log{\left(2 \right)}^{3} + 27 \log{\left(2 \right)}^{2}}{u}\, du

          1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

            Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos dudu:

            ∫(−27u3−81u2log⁡(2)−27u2−81ulog⁡(2)2−54ulog⁡(2)−9u−27log⁡(2)2−27log⁡(2)3−9log⁡(2)−1) du\int \left(- 27 u^{3} - 81 u^{2} \log{\left(2 \right)} - 27 u^{2} - 81 u \log{\left(2 \right)}^{2} - 54 u \log{\left(2 \right)} - 9 u - 27 \log{\left(2 \right)}^{2} - 27 \log{\left(2 \right)}^{3} - 9 \log{\left(2 \right)} - 1\right)\, du

            1. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−27u3) du=−27∫u3 du\int \left(- 27 u^{3}\right)\, du = - 27 \int u^{3}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: −27u44- \frac{27 u^{4}}{4}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−81u2log⁡(2)) du=−81log⁡(2)∫u2 du\int \left(- 81 u^{2} \log{\left(2 \right)}\right)\, du = - 81 \log{\left(2 \right)} \int u^{2}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Por lo tanto, el resultado es: −27u3log⁡(2)- 27 u^{3} \log{\left(2 \right)}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−27u2) du=−27∫u2 du\int \left(- 27 u^{2}\right)\, du = - 27 \int u^{2}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Por lo tanto, el resultado es: −9u3- 9 u^{3}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−81ulog⁡(2)2) du=−81log⁡(2)2∫u du\int \left(- 81 u \log{\left(2 \right)}^{2}\right)\, du = - 81 \log{\left(2 \right)}^{2} \int u\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: −81u2log⁡(2)22- \frac{81 u^{2} \log{\left(2 \right)}^{2}}{2}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−54ulog⁡(2)) du=−54log⁡(2)∫u du\int \left(- 54 u \log{\left(2 \right)}\right)\, du = - 54 \log{\left(2 \right)} \int u\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: −27u2log⁡(2)- 27 u^{2} \log{\left(2 \right)}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−9u) du=−9∫u du\int \left(- 9 u\right)\, du = - 9 \int u\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: −9u22- \frac{9 u^{2}}{2}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫(−27log⁡(2)2) du=−27ulog⁡(2)2\int \left(- 27 \log{\left(2 \right)}^{2}\right)\, du = - 27 u \log{\left(2 \right)}^{2}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫(−27log⁡(2)3) du=−27ulog⁡(2)3\int \left(- 27 \log{\left(2 \right)}^{3}\right)\, du = - 27 u \log{\left(2 \right)}^{3}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫(−9log⁡(2)) du=−9ulog⁡(2)\int \left(- 9 \log{\left(2 \right)}\right)\, du = - 9 u \log{\left(2 \right)}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫(−1) du=−u\int \left(-1\right)\, du = - u

              El resultado es: −27u44−27u3log⁡(2)−9u3−81u2log⁡(2)22−27u2log⁡(2)−9u22−27ulog⁡(2)2−27ulog⁡(2)3−9ulog⁡(2)−u- \frac{27 u^{4}}{4} - 27 u^{3} \log{\left(2 \right)} - 9 u^{3} - \frac{81 u^{2} \log{\left(2 \right)}^{2}}{2} - 27 u^{2} \log{\left(2 \right)} - \frac{9 u^{2}}{2} - 27 u \log{\left(2 \right)}^{2} - 27 u \log{\left(2 \right)}^{3} - 9 u \log{\left(2 \right)} - u

            Si ahora sustituir uu más en:

            −27log⁡(1u)44−27log⁡(2)log⁡(1u)3−9log⁡(1u)3−81log⁡(2)2log⁡(1u)22−27log⁡(2)log⁡(1u)2−9log⁡(1u)22−27log⁡(2)2log⁡(1u)−27log⁡(2)3log⁡(1u)−9log⁡(2)log⁡(1u)−log⁡(1u)- \frac{27 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{4} - 27 \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} - 9 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} - \frac{81 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2} - 27 \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} - \frac{9 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2} - 27 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 27 \log{\left(2 \right)}^{3} \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 9 \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 27log⁡(1u)44+9log⁡(1u)3+27log⁡(2)log⁡(1u)3+9log⁡(1u)22+27log⁡(2)log⁡(1u)2+81log⁡(2)2log⁡(1u)22+log⁡(1u)+9log⁡(2)log⁡(1u)+27log⁡(2)3log⁡(1u)+27log⁡(2)2log⁡(1u)\frac{27 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{4} + 9 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} + 27 \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} + \frac{9 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2} + 27 \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + \frac{81 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2} + \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 9 \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 27 \log{\left(2 \right)}^{3} \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 27 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        27log⁡(x)44+9log⁡(x)3+27log⁡(2)log⁡(x)3+9log⁡(x)22+27log⁡(2)log⁡(x)2+81log⁡(2)2log⁡(x)22+log⁡(x)+9log⁡(2)log⁡(x)+27log⁡(2)3log⁡(x)+27log⁡(2)2log⁡(x)\frac{27 \log{\left(x \right)}^{4}}{4} + 9 \log{\left(x \right)}^{3} + 27 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}^{3} + \frac{9 \log{\left(x \right)}^{2}}{2} + 27 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}^{2} + \frac{81 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} + \log{\left(x \right)} + 9 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)} + 27 \log{\left(2 \right)}^{3} \log{\left(x \right)} + 27 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 27log⁡(x)48+9log⁡(x)32+27log⁡(2)log⁡(x)32+9log⁡(x)24+27log⁡(2)log⁡(x)22+81log⁡(2)2log⁡(x)24+log⁡(x)2+9log⁡(2)log⁡(x)2+27log⁡(2)3log⁡(x)2+27log⁡(2)2log⁡(x)2\frac{27 \log{\left(x \right)}^{4}}{8} + \frac{9 \log{\left(x \right)}^{3}}{2} + \frac{27 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}^{3}}{2} + \frac{9 \log{\left(x \right)}^{2}}{4} + \frac{27 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} + \frac{81 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{4} + \frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \frac{9 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{27 \log{\left(2 \right)}^{3} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{27 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(x \right)}}{2}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3log⁡(2x)+1)32x=27log⁡(x)32x+27log⁡(x)22x+81log⁡(2)log⁡(x)22x+9log⁡(x)2x+27log⁡(2)log⁡(x)x+81log⁡(2)2log⁡(x)2x+12x+9log⁡(2)2x+27log⁡(2)32x+27log⁡(2)22x\frac{\left(3 \log{\left(2 x \right)} + 1\right)^{3}}{2 x} = \frac{27 \log{\left(x \right)}^{3}}{2 x} + \frac{27 \log{\left(x \right)}^{2}}{2 x} + \frac{81 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}^{2}}{2 x} + \frac{9 \log{\left(x \right)}}{2 x} + \frac{27 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}}{x} + \frac{81 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(x \right)}}{2 x} + \frac{1}{2 x} + \frac{9 \log{\left(2 \right)}}{2 x} + \frac{27 \log{\left(2 \right)}^{3}}{2 x} + \frac{27 \log{\left(2 \right)}^{2}}{2 x}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫27log⁡(x)32x dx=27∫log⁡(x)3x dx2\int \frac{27 \log{\left(x \right)}^{3}}{2 x}\, dx = \frac{27 \int \frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{x}\, dx}{2}

        1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

          Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

          ∫(−log⁡(1u)3u) du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫log⁡(1u)3u du=−∫log⁡(1u)3u du\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u}\, du

            1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

              Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos −du- du:

              ∫(−u3) du\int \left(- u^{3}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u3 du=−∫u3 du\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: −u44- \frac{u^{4}}{4}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −log⁡(1u)44- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u)44\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x)44\frac{\log{\left(x \right)}^{4}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 27log⁡(x)48\frac{27 \log{\left(x \right)}^{4}}{8}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫27log⁡(x)22x dx=27∫log⁡(x)2x dx2\int \frac{27 \log{\left(x \right)}^{2}}{2 x}\, dx = \frac{27 \int \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x}\, dx}{2}

        1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

          Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

          ∫(−log⁡(1u)2u) du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫log⁡(1u)2u du=−∫log⁡(1u)2u du\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du

            1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

              Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos −du- du:

              ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −log⁡(1u)33- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u)33\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x)33\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 9log⁡(x)32\frac{9 \log{\left(x \right)}^{3}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫81log⁡(2)log⁡(x)22x dx=81log⁡(2)∫log⁡(x)2x dx2\int \frac{81 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}^{2}}{2 x}\, dx = \frac{81 \log{\left(2 \right)} \int \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x}\, dx}{2}

        1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

          Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

          ∫(−log⁡(1u)2u) du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫log⁡(1u)2u du=−∫log⁡(1u)2u du\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du

            1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

              Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos −du- du:

              ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −log⁡(1u)33- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u)33\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x)33\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 27log⁡(2)log⁡(x)32\frac{27 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}^{3}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫9log⁡(x)2x dx=9∫log⁡(x)x dx2\int \frac{9 \log{\left(x \right)}}{2 x}\, dx = \frac{9 \int \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\, dx}{2}

        1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

          Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

          ∫(−log⁡(1u)u) du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫log⁡(1u)u du=−∫log⁡(1u)u du\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du

            1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

              Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos −du- du:

              ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −log⁡(1u)22- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u)22\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x)22\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 9log⁡(x)24\frac{9 \log{\left(x \right)}^{2}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫27log⁡(2)log⁡(x)x dx=27log⁡(2)∫log⁡(x)x dx\int \frac{27 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}}{x}\, dx = 27 \log{\left(2 \right)} \int \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\, dx

        1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

          Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

          ∫(−log⁡(1u)u) du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫log⁡(1u)u du=−∫log⁡(1u)u du\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du

            1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

              Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos −du- du:

              ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −log⁡(1u)22- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u)22\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x)22\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 27log⁡(2)log⁡(x)22\frac{27 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}^{2}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫81log⁡(2)2log⁡(x)2x dx=81log⁡(2)2∫log⁡(x)x dx2\int \frac{81 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(x \right)}}{2 x}\, dx = \frac{81 \log{\left(2 \right)}^{2} \int \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\, dx}{2}

        1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

          Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

          ∫(−log⁡(1u)u) du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫log⁡(1u)u du=−∫log⁡(1u)u du\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du

            1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

              Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos −du- du:

              ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −log⁡(1u)22- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u)22\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x)22\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 81log⁡(2)2log⁡(x)24\frac{81 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫12x dx=∫1x dx2\int \frac{1}{2 x}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x}\, dx}{2}

        1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x)2\frac{\log{\left(x \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫9log⁡(2)2x dx=9log⁡(2)∫1x dx2\int \frac{9 \log{\left(2 \right)}}{2 x}\, dx = \frac{9 \log{\left(2 \right)} \int \frac{1}{x}\, dx}{2}

        1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: 9log⁡(2)log⁡(x)2\frac{9 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫27log⁡(2)32x dx=27log⁡(2)3∫1x dx2\int \frac{27 \log{\left(2 \right)}^{3}}{2 x}\, dx = \frac{27 \log{\left(2 \right)}^{3} \int \frac{1}{x}\, dx}{2}

        1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: 27log⁡(2)3log⁡(x)2\frac{27 \log{\left(2 \right)}^{3} \log{\left(x \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫27log⁡(2)22x dx=27log⁡(2)2∫1x dx2\int \frac{27 \log{\left(2 \right)}^{2}}{2 x}\, dx = \frac{27 \log{\left(2 \right)}^{2} \int \frac{1}{x}\, dx}{2}

        1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: 27log⁡(2)2log⁡(x)2\frac{27 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(x \right)}}{2}

      El resultado es: 27log⁡(x)48+9log⁡(x)32+27log⁡(2)log⁡(x)32+9log⁡(x)24+27log⁡(2)log⁡(x)22+81log⁡(2)2log⁡(x)24+log⁡(x)2+9log⁡(2)log⁡(x)2+27log⁡(2)3log⁡(x)2+27log⁡(2)2log⁡(x)2\frac{27 \log{\left(x \right)}^{4}}{8} + \frac{9 \log{\left(x \right)}^{3}}{2} + \frac{27 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}^{3}}{2} + \frac{9 \log{\left(x \right)}^{2}}{4} + \frac{27 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} + \frac{81 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{4} + \frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \frac{9 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{27 \log{\left(2 \right)}^{3} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{27 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(x \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    (3log⁡(2x)+1)424+constant\frac{\left(3 \log{\left(2 x \right)} + 1\right)^{4}}{24}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(3log⁡(2x)+1)424+constant\frac{\left(3 \log{\left(2 x \right)} + 1\right)^{4}}{24}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                            
 |                                             
 |                 3                          4
 | (1 + 3*log(2*x))           (1 + 3*log(2*x)) 
 | ----------------- dx = C + -----------------
 |        2*x                         24       
 |                                             
/
∫(3log⁡(2x)+1)32x dx=C+(3log⁡(2x)+1)424\int \frac{\left(3 \log{\left(2 x \right)} + 1\right)^{3}}{2 x}\, dx = C + \frac{\left(3 \log{\left(2 x \right)} + 1\right)^{4}}{24}
Simplificar
Respuesta [src] 
-oo
−∞-\infty 
=
= 
-oo
−∞-\infty 
-oo
Respuesta numérica [src] 
-11605768.9817174
-11605768.9817174

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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