Integral de dy/((1/y)+y) dy

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{y + \frac{1}{y}} = \frac{y}{y^{2} + 1}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{y}{y^{2} + 1}\, dy = \frac{\int \frac{2 y}{y^{2} + 1}\, dy}{2}$

      1. que $u = y^{2} + 1$.

         Luego que $du = 2 y dy$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(y^{2} + 1 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{y + \frac{1}{y}} = \frac{y}{y^{2} + 1}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{y}{y^{2} + 1}\, dy = \frac{\int \frac{2 y}{y^{2} + 1}\, dy}{2}$

      1. que $u = y^{2} + 1$.

         Luego que $du = 2 y dy$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(y^{2} + 1 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$