Integral de x/(4x+5)1/2 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{x \frac{1}{4 x + 5}}{2}\, dx = \frac{\int \frac{x}{4 x + 5}\, dx}{2}$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{4 x + 5} = \frac{1}{4} - \frac{5}{4 \left(4 x + 5\right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{5}{4 \left(4 x + 5\right)}\right)\, dx = - \frac{5 \int \frac{1}{4 x + 5}\, dx}{4}$

         1. que $u = 4 x + 5$.

            Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{1}{4 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(4 x + 5 \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 \log{\left(4 x + 5 \right)}}{16}$

      El resultado es: $\frac{x}{4} - \frac{5 \log{\left(4 x + 5 \right)}}{16}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x}{8} - \frac{5 \log{\left(4 x + 5 \right)}}{32}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x}{8} - \frac{5 \log{\left(4 x + 5 \right)}}{32}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x}{8} - \frac{5 \log{\left(4 x + 5 \right)}}{32}+ \mathrm{constant}$