Integral de 1/x(xln(x)-x+c) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{c u + \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1}{u^{2}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u c + \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1}{u^{2}}\, du = - \int \frac{u c + \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1}{u^{2}}\, du$

         1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

            $\int \left(- c - u e^{u} + e^{u}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- u e^{u}\right)\, du = - \int u e^{u}\, du$

                  1. Usamos la integración por partes:

                     $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                     que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                     Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

                     Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Ahora resolvemos podintegral.

                  2. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- u e^{u} + e^{u}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \left(- c\right)\, du = - u c$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               El resultado es: $- u c - u e^{u} + 2 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- c \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u} + \frac{2}{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $c \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u} - \frac{2}{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $c \log{\left(x \right)} + x \log{\left(x \right)} - 2 x$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{c + \left(x \log{\left(x \right)} - x\right)}{x} = \frac{c}{x} + \log{\left(x \right)} - 1$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{c}{x}\, dx = c \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $c \log{\left(x \right)}$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

      El resultado es: $c \log{\left(x \right)} + x \log{\left(x \right)} - 2 x$

2. Añadimos la constante de integración:

   $c \log{\left(x \right)} + x \log{\left(x \right)} - 2 x+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$c \log{\left(x \right)} + x \log{\left(x \right)} - 2 x+ \mathrm{constant}$