Integral de 8*e^(2*t)/(1+e^(2*t)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{2 t}$.

      Luego que $du = 2 e^{2 t} dt$ y ponemos $4 du$:

      $\int \frac{4}{u + 1}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u + 1}\, du = 4 \int \frac{1}{u + 1}\, du$

         1. que $u = u + 1$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(u + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 \log{\left(u + 1 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $4 \log{\left(e^{2 t} + 1 \right)}$

   Método #2

   1. que $u = 2 t$.

      Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $4 du$:

      $\int \frac{4 e^{u}}{e^{u} + 1}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e^{u}}{e^{u} + 1}\, du = 4 \int \frac{e^{u}}{e^{u} + 1}\, du$

         1. que $u = e^{u} + 1$.

            Luego que $du = e^{u} du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(e^{u} + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 \log{\left(e^{u} + 1 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $4 \log{\left(e^{2 t} + 1 \right)}$

   Método #3

   1. que $u = e^{2 t} + 1$.

      Luego que $du = 2 e^{2 t} dt$ y ponemos $4 du$:

      $\int \frac{4}{u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = 4 \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $4 \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $4 \log{\left(e^{2 t} + 1 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $4 \log{\left(e^{2 t} + 1 \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $4 \log{\left(e^{2 t} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$4 \log{\left(e^{2 t} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$