Integral de (3x-2)⁶ dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 x - 2$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u^{6}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{6}\, du = \frac{\int u^{6}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{7}}{21}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(3 x - 2\right)^{7}}{21}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(3 x - 2\right)^{6} = 729 x^{6} - 2916 x^{5} + 4860 x^{4} - 4320 x^{3} + 2160 x^{2} - 576 x + 64$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 729 x^{6}\, dx = 729 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{729 x^{7}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2916 x^{5}\right)\, dx = - 2916 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 486 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4860 x^{4}\, dx = 4860 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $972 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 4320 x^{3}\right)\, dx = - 4320 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 1080 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2160 x^{2}\, dx = 2160 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $720 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 576 x\right)\, dx = - 576 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 288 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 64\, dx = 64 x$

      El resultado es: $\frac{729 x^{7}}{7} - 486 x^{6} + 972 x^{5} - 1080 x^{4} + 720 x^{3} - 288 x^{2} + 64 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(3 x - 2\right)^{7}}{21}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(3 x - 2\right)^{7}}{21}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(3 x - 2\right)^{7}}{21}+ \mathrm{constant}$