Integral de (-x+7)e^(3x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \left(u + 7\right) e^{- 3 u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(u + 7\right) e^{- 3 u}\, du = - \int \left(u + 7\right) e^{- 3 u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u + 7$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- 3 u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. que $u = - 3 u$.

               Luego que $du = - 3 du$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

               $\int \left(- \frac{e^{u}}{3}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{e^{- 3 u}}{3}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{e^{- 3 u}}{3}\right)\, du = - \frac{\int e^{- 3 u}\, du}{3}$

            1. que $u = - 3 u$.

               Luego que $du = - 3 du$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

               $\int \left(- \frac{e^{u}}{3}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{e^{- 3 u}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{- 3 u}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\left(u + 7\right) e^{- 3 u}}{3} + \frac{e^{- 3 u}}{9}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(7 - x\right) e^{3 x}}{3} + \frac{e^{3 x}}{9}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{3 x} \left(7 - x\right) = - x e^{3 x} + 7 e^{3 x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x e^{3 x}\right)\, dx = - \int x e^{3 x}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{3 x}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = 3 x$.

               Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{3 x}}{3}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{3 x}}{3}\, dx = \frac{\int e^{3 x}\, dx}{3}$

            1. que $u = 3 x$.

               Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{3 x}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{3 x}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x e^{3 x}}{3} + \frac{e^{3 x}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 7 e^{3 x}\, dx = 7 \int e^{3 x}\, dx$

         1. que $u = 3 x$.

            Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{3 x}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{7 e^{3 x}}{3}$

      El resultado es: $- \frac{x e^{3 x}}{3} + \frac{22 e^{3 x}}{9}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{3 x} \left(7 - x\right) = - x e^{3 x} + 7 e^{3 x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x e^{3 x}\right)\, dx = - \int x e^{3 x}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{3 x}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = 3 x$.

               Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{3 x}}{3}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{3 x}}{3}\, dx = \frac{\int e^{3 x}\, dx}{3}$

            1. que $u = 3 x$.

               Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{3 x}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{3 x}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x e^{3 x}}{3} + \frac{e^{3 x}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 7 e^{3 x}\, dx = 7 \int e^{3 x}\, dx$

         1. que $u = 3 x$.

            Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{3 x}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{7 e^{3 x}}{3}$

      El resultado es: $- \frac{x e^{3 x}}{3} + \frac{22 e^{3 x}}{9}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(22 - 3 x\right) e^{3 x}}{9}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(22 - 3 x\right) e^{3 x}}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(22 - 3 x\right) e^{3 x}}{9}+ \mathrm{constant}$