Sr Examen
Integral de x/(x^2-4x+8) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | x | ------------ dx | 2 | x - 4*x + 8 | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 8}\, dx$$
Integral(x/(x^2 - 4*x + 8), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | x | ------------ dx | 2 | x - 4*x + 8 | /
Reescribimos la función subintegral
/ 2*x - 4 \
|------------| /2\
| 2 | |-|
x \x - 4*x + 8/ \4/
------------ = -------------- + --------------
2 2 2
x - 4*x + 8 / x \
|- - + 1| + 1
\ 2 / o
/ | | x | ------------ dx | 2 = | x - 4*x + 8 | /
/
|
| 1 /
| -------------- dx |
| 2 | 2*x - 4
| / x \ | ------------ dx
| |- - + 1| + 1 | 2
| \ 2 / | x - 4*x + 8
| |
/ /
-------------------- + ------------------
2 2 En integral
/
|
| 2*x - 4
| ------------ dx
| 2
| x - 4*x + 8
|
/
------------------
2 hacemos el cambio
2 u = x - 4*x
entonces
integral =
/
|
| 1
| ----- du
| 8 + u
|
/ log(8 + u)
----------- = ----------
2 2 hacemos cambio inverso
/
|
| 2*x - 4
| ------------ dx
| 2
| x - 4*x + 8
| / 2 \
/ log\8 + x - 4*x/
------------------ = -----------------
2 2 En integral
/
|
| 1
| -------------- dx
| 2
| / x \
| |- - + 1| + 1
| \ 2 /
|
/
--------------------
2 hacemos el cambio
x
v = 1 - -
2entonces
integral =
/
|
| 1
| ------ dv
| 2
| 1 + v
|
/ atan(v)
------------ = -------
2 2 hacemos cambio inverso
/
|
| 1
| -------------- dx
| 2
| / x \
| |- - + 1| + 1
| \ 2 /
|
/ / x\
-------------------- = atan|-1 + -|
2 \ 2/La solución:
/ 2 \
log\8 + x - 4*x/ / x\
C + ----------------- + atan|-1 + -|
2 \ 2/
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ | / 2 \ | x log\8 + x - 4*x/ / x\ | ------------ dx = C + ----------------- + atan|-1 + -| | 2 2 \ 2/ | x - 4*x + 8 | /
$$\int \frac{x}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 8}\, dx = C + \frac{\log{\left(x^{2} - 4 x + 8 \right)}}{2} + \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
log(5) log(8) pi ------ - atan(1/2) - ------ + -- 2 2 4
$$- \frac{\log{\left(8 \right)}}{2} - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \frac{\pi}{4} + \frac{\log{\left(5 \right)}}{2}$$
=
=
log(5) log(8) pi ------ - atan(1/2) - ------ + -- 2 2 4
$$- \frac{\log{\left(8 \right)}}{2} - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \frac{\pi}{4} + \frac{\log{\left(5 \right)}}{2}$$
log(5)/2 - atan(1/2) - log(8)/2 + pi/4
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.