Sr Examen

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Integral de x^3√(4-x^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                  
  /                  
 |                   
 |        ________   
 |   3   /      2    
 |  x *\/  4 - x   dx
 |                   
/                    
0                    
$$\int\limits_{0}^{1} x^{3} \sqrt{4 - x^{2}}\, dx$$
Integral(x^3*sqrt(4 - x^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

    TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=2*sin(_theta), rewritten=32*sin(_theta)**3*cos(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=32, other=sin(_theta)**3*cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)*cos(_theta)**2, substep=AlternativeRule(alternatives=[URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=1, substep=AddRule(substeps=[PowerRule(base=_u, exp=4, context=_u**4, symbol=_u), ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**2, substep=PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), context=-_u**2, symbol=_u)], context=_u**4 - _u**2, symbol=_u), context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=-sin(_theta)*cos(_theta)**4 + sin(_theta)*cos(_theta)**2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1, other=sin(_theta)*cos(_theta)**4, substep=URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**4, substep=PowerRule(base=_u, exp=4, context=_u**4, symbol=_u), context=_u**4, symbol=_u), context=sin(_theta)*cos(_theta)**4, symbol=_theta), context=-sin(_theta)*cos(_theta)**4, symbol=_theta), URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**2, substep=PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), context=_u**2, symbol=_u), context=sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta)], context=-sin(_theta)*cos(_theta)**4 + sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=-sin(_theta)*cos(_theta)**4 + sin(_theta)*cos(_theta)**2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1, other=sin(_theta)*cos(_theta)**4, substep=URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**4, substep=PowerRule(base=_u, exp=4, context=_u**4, symbol=_u), context=_u**4, symbol=_u), context=sin(_theta)*cos(_theta)**4, symbol=_theta), context=-sin(_theta)*cos(_theta)**4, symbol=_theta), URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**2, substep=PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), context=_u**2, symbol=_u), context=sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta)], context=-sin(_theta)*cos(_theta)**4 + sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta)], context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**3*cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=32*sin(_theta)**3*cos(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x > -2) & (x < 2), context=x**3*sqrt(4 - x**2), symbol=x)

  1. Ahora simplificar:

  2. Añadimos la constante de integración:


Respuesta:

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                                                
 |                                                                                 
 |       ________          //            3/2           5/2                        \
 |  3   /      2           ||    /     2\      /     2\                           |
 | x *\/  4 - x   dx = C + |<  4*\4 - x /      \4 - x /                           |
 |                         ||- ------------- + -----------  for And(x > -2, x < 2)|
/                          \\        3              5                             /
$$\int x^{3} \sqrt{4 - x^{2}}\, dx = C + \begin{cases} \frac{\left(4 - x^{2}\right)^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 \left(4 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{3} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}$$
Gráfica
Respuesta [src]
          ___
64   11*\/ 3 
-- - --------
15      5    
$$\frac{64}{15} - \frac{11 \sqrt{3}}{5}$$
=
=
          ___
64   11*\/ 3 
-- - --------
15      5    
$$\frac{64}{15} - \frac{11 \sqrt{3}}{5}$$
64/15 - 11*sqrt(3)/5
Respuesta numérica [src]
0.456154890015137
0.456154890015137

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.