Integral de (2*x^3-x^(5/2)+1)/x^(1/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(4 u^{6} - 2 u^{5} + 2\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 u^{6}\, du = 4 \int u^{6}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 u^{7}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 u^{5}\right)\, du = - 2 \int u^{5}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{6}}{3}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 2\, du = 2 u$

         El resultado es: $\frac{4 u^{7}}{7} - \frac{u^{6}}{3} + 2 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{4 x^{\frac{7}{2}}}{7} + 2 \sqrt{x} - \frac{x^{3}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(- x^{\frac{5}{2}} + 2 x^{3}\right) + 1}{\sqrt{x}} = 2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x^{\frac{5}{2}}\, dx = 2 \int x^{\frac{5}{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{5}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{\frac{7}{2}}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{2}\right)\, dx = - \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{3}}{3}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

      El resultado es: $\frac{4 x^{\frac{7}{2}}}{7} + 2 \sqrt{x} - \frac{x^{3}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 x^{\frac{7}{2}}}{7} + 2 \sqrt{x} - \frac{x^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 x^{\frac{7}{2}}}{7} + 2 \sqrt{x} - \frac{x^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$