Integral de x/(3x²-1)^4 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{\left(3 x^{2} - 1\right)^{4}} = \frac{x}{81 x^{8} - 108 x^{6} + 54 x^{4} - 12 x^{2} + 1}$

   2. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{162 u^{4} - 216 u^{3} + 108 u^{2} - 24 u + 2}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{162 u^{4} - 216 u^{3} + 108 u^{2} - 24 u + 2} = \frac{1}{2 \left(3 u - 1\right)^{4}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{2 \left(3 u - 1\right)^{4}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\left(3 u - 1\right)^{4}}\, du}{2}$

         1. que $u = 3 u - 1$.

            Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{1}{3 u^{4}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{4}}\, du}{3}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{9 u^{3}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{9 \left(3 u - 1\right)^{3}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{18 \left(3 u - 1\right)^{3}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{18 \left(3 x^{2} - 1\right)^{3}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{\left(3 x^{2} - 1\right)^{4}} = \frac{x}{81 x^{8} - 108 x^{6} + 54 x^{4} - 12 x^{2} + 1}$

   2. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{162 u^{4} - 216 u^{3} + 108 u^{2} - 24 u + 2}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{162 u^{4} - 216 u^{3} + 108 u^{2} - 24 u + 2} = \frac{1}{2 \left(3 u - 1\right)^{4}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{2 \left(3 u - 1\right)^{4}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\left(3 u - 1\right)^{4}}\, du}{2}$

         1. que $u = 3 u - 1$.

            Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{1}{3 u^{4}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{4}}\, du}{3}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{9 u^{3}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{9 \left(3 u - 1\right)^{3}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{18 \left(3 u - 1\right)^{3}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{18 \left(3 x^{2} - 1\right)^{3}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{1}{18 \left(3 x^{2} - 1\right)^{3}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{1}{18 \left(3 x^{2} - 1\right)^{3}}+ \mathrm{constant}$