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Resolución de integrales/ 1-x^2/ (2+x)/ (2+x)/(1-x^2)

Integral de (2+x)/(1-x^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1          
  /          
 |           
 |  2 + x    
 |  ------ dx
 |       2   
 |  1 - x    
 |           
/            
0
∫01x+21−x2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x + 2}{1 - x^{2}}\, dx 
Integral((2 + x)/(1 - x^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    x+21−x2=x1−x2+21−x2\frac{x + 2}{1 - x^{2}} = \frac{x}{1 - x^{2}} + \frac{2}{1 - x^{2}}

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫x1−x2 dx=−∫(−2x1−x2) dx2\int \frac{x}{1 - x^{2}}\, dx = - \frac{\int \left(- \frac{2 x}{1 - x^{2}}\right)\, dx}{2}

      1. que u=1−x2u = 1 - x^{2}.

        Luego que du=−2xdxdu = - 2 x dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

        ∫(−12u) du\int \left(- \frac{1}{2 u}\right)\, du

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(1−x2)\log{\left(1 - x^{2} \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(1−x2)2- \frac{\log{\left(1 - x^{2} \right)}}{2}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫21−x2 dx=2∫11−x2 dx\int \frac{2}{1 - x^{2}}\, dx = 2 \int \frac{1}{1 - x^{2}}\, dx

        PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=-1, c=1, context=1/(1 - x**2), symbol=x), False), (ArccothRule(a=1, b=-1, c=1, context=1/(1 - x**2), symbol=x), x**2 > 1), (ArctanhRule(a=1, b=-1, c=1, context=1/(1 - x**2), symbol=x), x**2 < 1)], context=1/(1 - x**2), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: 2({acoth⁡(x)for x2>1atanh⁡(x)for x2<1)2 \left(\begin{cases} \operatorname{acoth}{\left(x \right)} & \text{for}\: x^{2} > 1 \\\operatorname{atanh}{\left(x \right)} & \text{for}\: x^{2} < 1 \end{cases}\right)

    El resultado es: 2({acoth⁡(x)for x2>1atanh⁡(x)for x2<1)−log⁡(1−x2)22 \left(\begin{cases} \operatorname{acoth}{\left(x \right)} & \text{for}\: x^{2} > 1 \\\operatorname{atanh}{\left(x \right)} & \text{for}\: x^{2} < 1 \end{cases}\right) - \frac{\log{\left(1 - x^{2} \right)}}{2}

  3. Ahora simplificar:

    {−log⁡(1−x2)2+2acoth⁡(x)for x2>1−log⁡(1−x2)2+2atanh⁡(x)for x2<1\begin{cases} - \frac{\log{\left(1 - x^{2} \right)}}{2} + 2 \operatorname{acoth}{\left(x \right)} & \text{for}\: x^{2} > 1 \\- \frac{\log{\left(1 - x^{2} \right)}}{2} + 2 \operatorname{atanh}{\left(x \right)} & \text{for}\: x^{2} < 1 \end{cases}

  4. Añadimos la constante de integración:

    {−log⁡(1−x2)2+2acoth⁡(x)for x2>1−log⁡(1−x2)2+2atanh⁡(x)for x2<1+constant\begin{cases} - \frac{\log{\left(1 - x^{2} \right)}}{2} + 2 \operatorname{acoth}{\left(x \right)} & \text{for}\: x^{2} > 1 \\- \frac{\log{\left(1 - x^{2} \right)}}{2} + 2 \operatorname{atanh}{\left(x \right)} & \text{for}\: x^{2} < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

{−log⁡(1−x2)2+2acoth⁡(x)for x2>1−log⁡(1−x2)2+2atanh⁡(x)for x2<1+constant\begin{cases} - \frac{\log{\left(1 - x^{2} \right)}}{2} + 2 \operatorname{acoth}{\left(x \right)} & \text{for}\: x^{2} > 1 \\- \frac{\log{\left(1 - x^{2} \right)}}{2} + 2 \operatorname{atanh}{\left(x \right)} & \text{for}\: x^{2} < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                       
 |                   //               2    \      /     2\
 | 2 + x             ||acoth(x)  for x  > 1|   log\1 - x /
 | ------ dx = C + 2*|<                    | - -----------
 |      2            ||               2    |        2     
 | 1 - x             \\atanh(x)  for x  < 1/              
 |                                                        
/
∫x+21−x2 dx=C+2({acoth⁡(x)for x2>1atanh⁡(x)for x2<1)−log⁡(1−x2)2\int \frac{x + 2}{1 - x^{2}}\, dx = C + 2 \left(\begin{cases} \operatorname{acoth}{\left(x \right)} & \text{for}\: x^{2} > 1 \\\operatorname{atanh}{\left(x \right)} & \text{for}\: x^{2} < 1 \end{cases}\right) - \frac{\log{\left(1 - x^{2} \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90020000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
     3*pi*I
oo + ------
       2
∞+3iπ2\infty + \frac{3 i \pi}{2} 
=
= 
     3*pi*I
oo + ------
       2
∞+3iπ2\infty + \frac{3 i \pi}{2} 
oo + 3*pi*i/2
Respuesta numérica [src] 
66.4830087696007
66.4830087696007

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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