Integral de (xe^x-x)/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u - 1}{u}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u - 1}{u} = 1 - \frac{1}{u}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

         El resultado es: $u - \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $e^{x} - \log{\left(e^{x} \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{x} x - x}{x} = e^{x} - 1$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

      El resultado es: $- x + e^{x}$

2. Ahora simplificar:

   $e^{x} - \log{\left(e^{x} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $e^{x} - \log{\left(e^{x} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$e^{x} - \log{\left(e^{x} \right)}+ \mathrm{constant}$