Integral de 15x(√x-2)^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(30 u^{5} - 120 u^{4} + 120 u^{3}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 30 u^{5}\, du = 30 \int u^{5}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $5 u^{6}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 120 u^{4}\right)\, du = - 120 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 24 u^{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 120 u^{3}\, du = 120 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $30 u^{4}$

         El resultado es: $5 u^{6} - 24 u^{5} + 30 u^{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 24 x^{\frac{5}{2}} + 5 x^{3} + 30 x^{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $15 x \left(\sqrt{x} - 2\right)^{2} = - 60 x^{\frac{3}{2}} + 15 x^{2} + 60 x$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 60 x^{\frac{3}{2}}\right)\, dx = - 60 \int x^{\frac{3}{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 24 x^{\frac{5}{2}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 15 x^{2}\, dx = 15 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 60 x\, dx = 60 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $30 x^{2}$

      El resultado es: $- 24 x^{\frac{5}{2}} + 5 x^{3} + 30 x^{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- 24 x^{\frac{5}{2}} + 5 x^{3} + 30 x^{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 24 x^{\frac{5}{2}} + 5 x^{3} + 30 x^{2}+ \mathrm{constant}$