Integral de 2(2x+1)^3 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 2 \left(2 x + 1\right)^{3}\, dx = 2 \int \left(2 x + 1\right)^{3}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 2 x + 1$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{u^{3}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{3}\, du = \frac{\int u^{3}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{8}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\left(2 x + 1\right)^{4}}{8}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(2 x + 1\right)^{3} = 8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 8 x^{3}\, dx = 8 \int x^{3}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 12 x^{2}\, dx = 12 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $4 x^{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 6 x\, dx = 6 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $3 x^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         El resultado es: $2 x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} + x$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\left(2 x + 1\right)^{4}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(2 x + 1\right)^{4}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(2 x + 1\right)^{4}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(2 x + 1\right)^{4}}{4}+ \mathrm{constant}$