Integral de (5x^3√x+2)/(4√x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{5 u^{7}}{2} + 1\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{5 u^{7}}{2}\, du = \frac{5 \int u^{7}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 u^{8}}{16}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         El resultado es: $\frac{5 u^{8}}{16} + u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\sqrt{x} + \frac{5 x^{4}}{16}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sqrt{x} 5 x^{3} + 2}{4 \sqrt{x}} = \frac{5 x^{3}}{4} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5 x^{3}}{4}\, dx = \frac{5 \int x^{3}\, dx}{4}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{4}}{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{2 \sqrt{x}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{x}$

      El resultado es: $\sqrt{x} + \frac{5 x^{4}}{16}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\sqrt{x} + \frac{5 x^{4}}{16}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\sqrt{x} + \frac{5 x^{4}}{16}+ \mathrm{constant}$