Integral de 8x(2x-5)+5(x^2-5x) dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 2 x$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $du$:

         $\int \left(2 u^{2} - 10 u\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 10 u\right)\, du = - 10 \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 5 u^{2}$

            El resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3} - 5 u^{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{16 x^{3}}{3} - 20 x^{2}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $8 x \left(2 x - 5\right) = 16 x^{2} - 40 x$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 16 x^{2}\, dx = 16 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 40 x\right)\, dx = - 40 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 20 x^{2}$

         El resultado es: $\frac{16 x^{3}}{3} - 20 x^{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 5 \left(x^{2} - 5 x\right)\, dx = 5 \int \left(x^{2} - 5 x\right)\, dx$

      1. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 5 x\right)\, dx = - 5 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 x^{2}}{2}$

         El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{3}}{3} - \frac{25 x^{2}}{2}$

   El resultado es: $7 x^{3} - \frac{65 x^{2}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(14 x - 65\right)}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(14 x - 65\right)}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(14 x - 65\right)}{2}+ \mathrm{constant}$