Integral de (4*x+1)/(x-5) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 4 x$.

      Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u + 1}{u - 20}\, du$

      1. que $u = u - 20$.

         Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u + 21}{u}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u + 21}{u} = 1 + \frac{21}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{21}{u}\, du = 21 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $21 \log{\left(u \right)}$

            El resultado es: $u + 21 \log{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $u + 21 \log{\left(u - 20 \right)} - 20$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $4 x + 21 \log{\left(4 x - 20 \right)} - 20$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{4 x + 1}{x - 5} = 4 + \frac{21}{x - 5}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 4\, dx = 4 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{21}{x - 5}\, dx = 21 \int \frac{1}{x - 5}\, dx$

         1. que $u = x - 5$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 5 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $21 \log{\left(x - 5 \right)}$

      El resultado es: $4 x + 21 \log{\left(x - 5 \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{4 x + 1}{x - 5} = \frac{4 x}{x - 5} + \frac{1}{x - 5}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4 x}{x - 5}\, dx = 4 \int \frac{x}{x - 5}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x}{x - 5} = 1 + \frac{5}{x - 5}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{5}{x - 5}\, dx = 5 \int \frac{1}{x - 5}\, dx$

               1. que $u = x - 5$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x - 5 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $5 \log{\left(x - 5 \right)}$

            El resultado es: $x + 5 \log{\left(x - 5 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 x + 20 \log{\left(x - 5 \right)}$

      1. que $u = x - 5$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(x - 5 \right)}$

      El resultado es: $4 x + \log{\left(x - 5 \right)} + 20 \log{\left(x - 5 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $4 x + 21 \log{\left(4 x - 20 \right)} - 20+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$4 x + 21 \log{\left(4 x - 20 \right)} - 20+ \mathrm{constant}$