Integral de 1/8x(5-x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{u^{2}}{8} + \frac{5 u}{8}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{2}}{8}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{8}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{24}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{5 u}{8}\, du = \frac{5 \int u\, du}{8}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 u^{2}}{16}$

         El resultado es: $\frac{u^{3}}{24} + \frac{5 u^{2}}{16}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{x^{3}}{24} + \frac{5 x^{2}}{16}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{8} \left(5 - x\right) = - \frac{x^{2}}{8} + \frac{5 x}{8}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x^{2}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int x^{2}\, dx}{8}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{3}}{24}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5 x}{8}\, dx = \frac{5 \int x\, dx}{8}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{2}}{16}$

      El resultado es: $- \frac{x^{3}}{24} + \frac{5 x^{2}}{16}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(15 - 2 x\right)}{48}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(15 - 2 x\right)}{48}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(15 - 2 x\right)}{48}+ \mathrm{constant}$