Integral de (x^2+2)^3/x^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x^{2} + 2\right)^{3}}{x^{3}} = x^{3} + 6 x + \frac{12}{x} + \frac{8}{x^{3}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6 x\, dx = 6 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 x^{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{12}{x}\, dx = 12 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $12 \log{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{8}{x^{3}}\, dx = 8 \int \frac{1}{x^{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4}{x^{2}}$

      El resultado es: $\frac{x^{4}}{4} + 3 x^{2} + 12 \log{\left(x \right)} - \frac{4}{x^{2}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x^{2} + 2\right)^{3}}{x^{3}} = \frac{x^{6} + 6 x^{4} + 12 x^{2} + 8}{x^{3}}$

   2. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{3} + 6 u^{2} + 12 u + 8}{2 u^{2}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{3} + 6 u^{2} + 12 u + 8}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{u^{3} + 6 u^{2} + 12 u + 8}{u^{2}}\, du}{2}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{3} + 6 u^{2} + 12 u + 8}{u^{2}} = u + 6 + \frac{12}{u} + \frac{8}{u^{2}}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 6\, du = 6 u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{12}{u}\, du = 12 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $12 \log{\left(u \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{8}{u^{2}}\, du = 8 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8}{u}$

            El resultado es: $\frac{u^{2}}{2} + 6 u + 12 \log{\left(u \right)} - \frac{8}{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{4} + 3 u + 6 \log{\left(u \right)} - \frac{4}{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{4}}{4} + 3 x^{2} + 6 \log{\left(x^{2} \right)} - \frac{4}{x^{2}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{4}}{4} + 3 x^{2} + 12 \log{\left(x \right)} - \frac{4}{x^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{4}}{4} + 3 x^{2} + 12 \log{\left(x \right)} - \frac{4}{x^{2}}+ \mathrm{constant}$