Integral de (3^x+2)^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3^{x}$.

      Luego que $du = 3^{x} \log{\left(3 \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{\log{\left(3 \right)}}$:

      $\int \frac{u^{2} + 4 u + 4}{u \log{\left(3 \right)}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{2} + 4 u + 4}{u}\, du = \frac{\int \frac{u^{2} + 4 u + 4}{u}\, du}{\log{\left(3 \right)}}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{2} + 4 u + 4}{u} = u + 4 + \frac{4}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 4\, du = 4 u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{4}{u}\, du = 4 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $4 \log{\left(u \right)}$

            El resultado es: $\frac{u^{2}}{2} + 4 u + 4 \log{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\frac{u^{2}}{2} + 4 u + 4 \log{\left(u \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\frac{3^{2 x}}{2} + 4 \cdot 3^{x} + 4 \log{\left(3^{x} \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(3^{x} + 2\right)^{2} = 3^{2 x} + 4 \cdot 3^{x} + 4$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = 2 x$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{3^{u}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3^{u}\, du = \frac{\int 3^{u}\, du}{2}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3^{u}}{2 \log{\left(3 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{3^{2 x}}{2 \log{\left(3 \right)}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 \cdot 3^{x}\, dx = 4 \int 3^{x}\, dx$

         1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            $\int 3^{x}\, dx = \frac{3^{x}}{\log{\left(3 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \cdot 3^{x}}{\log{\left(3 \right)}}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 4\, dx = 4 x$

      El resultado es: $\frac{3^{2 x}}{2 \log{\left(3 \right)}} + \frac{4 \cdot 3^{x}}{\log{\left(3 \right)}} + 4 x$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(3^{x} + 2\right)^{2} = 3^{2 x} + 4 \cdot 3^{x} + 4$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = 2 x$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{3^{u}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3^{u}\, du = \frac{\int 3^{u}\, du}{2}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3^{u}}{2 \log{\left(3 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{3^{2 x}}{2 \log{\left(3 \right)}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 \cdot 3^{x}\, dx = 4 \int 3^{x}\, dx$

         1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            $\int 3^{x}\, dx = \frac{3^{x}}{\log{\left(3 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \cdot 3^{x}}{\log{\left(3 \right)}}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 4\, dx = 4 x$

      El resultado es: $\frac{3^{2 x}}{2 \log{\left(3 \right)}} + \frac{4 \cdot 3^{x}}{\log{\left(3 \right)}} + 4 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{4 \cdot 3^{x} + \frac{9^{x}}{2} + 4 \log{\left(3^{x} \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 \cdot 3^{x} + \frac{9^{x}}{2} + 4 \log{\left(3^{x} \right)}}{\log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 \cdot 3^{x} + \frac{9^{x}}{2} + 4 \log{\left(3^{x} \right)}}{\log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}$