Integral de (4*x^3)/(x^4+1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{4} + 1$.

      Luego que $du = 4 x^{3} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(x^{4} + 1 \right)}$

   Método #2

   1. que $u = x^{4}$.

      Luego que $du = 4 x^{3} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{u + 1}\, du$

      1. que $u = u + 1$.

         Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(u + 1 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(x^{4} + 1 \right)}$

   Método #3

   1. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2 u}{u^{2} + 1}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du = 2 \int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} + 1}\, du}{2}$

            1. que $u = u^{2} + 1$.

               Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u^{2} + 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(u^{2} + 1 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(x^{4} + 1 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\log{\left(x^{4} + 1 \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\log{\left(x^{4} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\log{\left(x^{4} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$