Integral de y=(4+7x)^3-9x(5x^2+3)^0.25 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 9 x \sqrt[4]{5 x^{2} + 3}\right)\, dx = - \int 9 x \sqrt[4]{5 x^{2} + 3}\, dx$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 9 x \sqrt[4]{5 x^{2} + 3}\, dx = 9 \int x \sqrt[4]{5 x^{2} + 3}\, dx$

         1. que $u = 5 x^{2} + 3$.

            Luego que $du = 10 x dx$ y ponemos $\frac{du}{10}$:

            $\int \frac{\sqrt[4]{u}}{10}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sqrt[4]{u}\, du = \frac{\int \sqrt[4]{u}\, du}{10}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \sqrt[4]{u}\, du = \frac{4 u^{\frac{5}{4}}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{\frac{5}{4}}}{25}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{2 \left(5 x^{2} + 3\right)^{\frac{5}{4}}}{25}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{18 \left(5 x^{2} + 3\right)^{\frac{5}{4}}}{25}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{18 \left(5 x^{2} + 3\right)^{\frac{5}{4}}}{25}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 7 x + 4$.

         Luego que $du = 7 dx$ y ponemos $\frac{du}{7}$:

         $\int \frac{u^{3}}{7}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{3}\, du = \frac{\int u^{3}\, du}{7}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{28}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\left(7 x + 4\right)^{4}}{28}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(7 x + 4\right)^{3} = 343 x^{3} + 588 x^{2} + 336 x + 64$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 343 x^{3}\, dx = 343 \int x^{3}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{343 x^{4}}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 588 x^{2}\, dx = 588 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $196 x^{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 336 x\, dx = 336 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $168 x^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 64\, dx = 64 x$

         El resultado es: $\frac{343 x^{4}}{4} + 196 x^{3} + 168 x^{2} + 64 x$

   El resultado es: $\frac{\left(7 x + 4\right)^{4}}{28} - \frac{18 \left(5 x^{2} + 3\right)^{\frac{5}{4}}}{25}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(7 x + 4\right)^{4}}{28} - \frac{18 \left(5 x^{2} + 3\right)^{\frac{5}{4}}}{25}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(7 x + 4\right)^{4}}{28} - \frac{18 \left(5 x^{2} + 3\right)^{\frac{5}{4}}}{25}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(7 x + 4\right)^{4}}{28} - \frac{18 \left(5 x^{2} + 3\right)^{\frac{5}{4}}}{25}+ \mathrm{constant}$