Integral de (2x+3)/(1-3x^2) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{2 x + 3}{1 - 3 x^{2}} = \frac{2 x}{1 - 3 x^{2}} + \frac{3}{1 - 3 x^{2}}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 x}{1 - 3 x^{2}}\, dx = - \frac{\int \left(- \frac{6 x}{1 - 3 x^{2}}\right)\, dx}{3}$

      1. que $u = 1 - 3 x^{2}$.

         Luego que $du = - 6 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

         $\int \left(- \frac{1}{3 u}\right)\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(1 - 3 x^{2} \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(1 - 3 x^{2} \right)}}{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{3}{1 - 3 x^{2}}\, dx = 3 \int \frac{1}{1 - 3 x^{2}}\, dx$

      PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=-3, c=1, context=1/(1 - 3*x**2), symbol=x), False), (ArccothRule(a=1, b=-3, c=1, context=1/(1 - 3*x**2), symbol=x), x**2 > 1/3), (ArctanhRule(a=1, b=-3, c=1, context=1/(1 - 3*x**2), symbol=x), x**2 < 1/3)], context=1/(1 - 3*x**2), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: $3 \left(\begin{cases} \frac{\sqrt{3} \operatorname{acoth}{\left(\sqrt{3} x \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} > \frac{1}{3} \\\frac{\sqrt{3} \operatorname{atanh}{\left(\sqrt{3} x \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} < \frac{1}{3} \end{cases}\right)$

   El resultado es: $3 \left(\begin{cases} \frac{\sqrt{3} \operatorname{acoth}{\left(\sqrt{3} x \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} > \frac{1}{3} \\\frac{\sqrt{3} \operatorname{atanh}{\left(\sqrt{3} x \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} < \frac{1}{3} \end{cases}\right) - \frac{\log{\left(1 - 3 x^{2} \right)}}{3}$

3. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} - \frac{\log{\left(1 - 3 x^{2} \right)}}{3} + \sqrt{3} \operatorname{acoth}{\left(\sqrt{3} x \right)} & \text{for}\: x^{2} > \frac{1}{3} \\- \frac{\log{\left(1 - 3 x^{2} \right)}}{3} + \sqrt{3} \operatorname{atanh}{\left(\sqrt{3} x \right)} & \text{for}\: x^{2} < \frac{1}{3} \end{cases}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} - \frac{\log{\left(1 - 3 x^{2} \right)}}{3} + \sqrt{3} \operatorname{acoth}{\left(\sqrt{3} x \right)} & \text{for}\: x^{2} > \frac{1}{3} \\- \frac{\log{\left(1 - 3 x^{2} \right)}}{3} + \sqrt{3} \operatorname{atanh}{\left(\sqrt{3} x \right)} & \text{for}\: x^{2} < \frac{1}{3} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} - \frac{\log{\left(1 - 3 x^{2} \right)}}{3} + \sqrt{3} \operatorname{acoth}{\left(\sqrt{3} x \right)} & \text{for}\: x^{2} > \frac{1}{3} \\- \frac{\log{\left(1 - 3 x^{2} \right)}}{3} + \sqrt{3} \operatorname{atanh}{\left(\sqrt{3} x \right)} & \text{for}\: x^{2} < \frac{1}{3} \end{cases}+ \mathrm{constant}$