Integral de e^(2x+1)+sin3x dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 2 x + 1$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{2 x + 1}}{2}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $e^{2 x + 1} = e e^{2 x}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int e e^{2 x}\, dx = e \int e^{2 x}\, dx$

         1. que $u = 2 x$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{2 x}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e e^{2 x}}{2}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $e^{2 x + 1} = e e^{2 x}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int e e^{2 x}\, dx = e \int e^{2 x}\, dx$

         1. que $u = 2 x$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{2 x}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e e^{2 x}}{2}$

   1. que $u = 3 x$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$

   El resultado es: $\frac{e^{2 x + 1}}{2} - \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{e^{2 x + 1}}{2} - \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{e^{2 x + 1}}{2} - \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{e^{2 x + 1}}{2} - \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$