Integral de (sqrt(x)+sqrt(a))^2*x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(4 \sqrt{a} u^{4} + 2 a u^{3} + 2 u^{5}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{5}\, du = 2 \int u^{5}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{6}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 u^{4} \sqrt{a}\, du = 4 \sqrt{a} \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 u^{5} \sqrt{a}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{3} a\, du = 2 a \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4} a}{2}$

         El resultado es: $\frac{u^{6}}{3} + \frac{4 u^{5} \sqrt{a}}{5} + \frac{u^{4} a}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{4 \sqrt{a} x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{a x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \left(\sqrt{a} + \sqrt{x}\right)^{2} = 2 \sqrt{a} x^{\frac{3}{2}} + a x + x^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 \sqrt{a} x^{\frac{3}{2}}\, dx = 2 \sqrt{a} \int x^{\frac{3}{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \sqrt{a} x^{\frac{5}{2}}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int a x\, dx = a \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{a x^{2}}{2}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      El resultado es: $\frac{4 \sqrt{a} x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{a x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 \sqrt{a} x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{a x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 \sqrt{a} x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{a x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$