Integral de √1+(2x+1)^2 dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 2 x + 1$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{u^{2}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{6}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\left(2 x + 1\right)^{3}}{6}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(2 x + 1\right)^{2} = 4 x^{2} + 4 x + 1$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 x^{2}\, dx = 4 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 x\, dx = 4 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         El resultado es: $\frac{4 x^{3}}{3} + 2 x^{2} + x$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int \sqrt{1}\, dx = x$

   El resultado es: $x + \frac{\left(2 x + 1\right)^{3}}{6}$

2. Ahora simplificar:

   $x + \frac{\left(2 x + 1\right)^{3}}{6}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x + \frac{\left(2 x + 1\right)^{3}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x + \frac{\left(2 x + 1\right)^{3}}{6}+ \mathrm{constant}$