Integral de x^2*(e^x-1)/(e^2-1) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{x^{2} \left(e^{x} - 1\right)}{-1 + e^{2}}\, dx = \frac{\int x^{2} \left(e^{x} - 1\right)\, dx}{-1 + e^{2}}$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{2} \left(e^{x} - 1\right) = x^{2} e^{x} - x^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = 2 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 e^{x}\, dx = 2 \int e^{x}\, dx$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{x}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{2}\right)\, dx = - \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{3}}{3}$

      El resultado es: $- \frac{x^{3}}{3} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{- \frac{x^{3}}{3} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{-1 + e^{2}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\frac{x^{3}}{3} - x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x}}{1 - e^{2}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\frac{x^{3}}{3} - x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x}}{1 - e^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\frac{x^{3}}{3} - x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x}}{1 - e^{2}}+ \mathrm{constant}$