Integral de (3x+4)^8 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 x + 4$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u^{8}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{8}\, du = \frac{\int u^{8}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{9}}{27}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(3 x + 4\right)^{9}}{27}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(3 x + 4\right)^{8} = 6561 x^{8} + 69984 x^{7} + 326592 x^{6} + 870912 x^{5} + 1451520 x^{4} + 1548288 x^{3} + 1032192 x^{2} + 393216 x + 65536$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6561 x^{8}\, dx = 6561 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $729 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 69984 x^{7}\, dx = 69984 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $8748 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 326592 x^{6}\, dx = 326592 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $46656 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 870912 x^{5}\, dx = 870912 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $145152 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1451520 x^{4}\, dx = 1451520 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $290304 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1548288 x^{3}\, dx = 1548288 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $387072 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1032192 x^{2}\, dx = 1032192 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $344064 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 393216 x\, dx = 393216 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $196608 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 65536\, dx = 65536 x$

      El resultado es: $729 x^{9} + 8748 x^{8} + 46656 x^{7} + 145152 x^{6} + 290304 x^{5} + 387072 x^{4} + 344064 x^{3} + 196608 x^{2} + 65536 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(3 x + 4\right)^{9}}{27}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(3 x + 4\right)^{9}}{27}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(3 x + 4\right)^{9}}{27}+ \mathrm{constant}$