Sr Examen

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Otras calculadoras

¿Cómo usar?
Integral de d{x}:
Integral de ((sin(x))^3)/(1+(cos(x))^2)
Integral de (sin(2x)+cos(2x))/(1+tg(x))
Integral de n
Integral de q
Expresiones idénticas
(z^ dos + uno)/(z^ tres (z^ dos + cuatro))
(z al cuadrado más 1) dividir por (z al cubo (z al cuadrado más 4))
(z en el grado dos más uno) dividir por (z en el grado tres (z en el grado dos más cuatro))
(z2+1)/(z3(z2+4))
z2+1/z3z2+4
(z²+1)/(z³(z²+4))
(z en el grado 2+1)/(z en el grado 3(z en el grado 2+4))
z^2+1/z^3z^2+4
(z^2+1) dividir por (z^3(z^2+4))
Expresiones semejantes
(z^2-1)/(z^3(z^2+4))
(z^2+1)/(z^3(z^2-4))

Resolución de integrales/ (z^2+1)/ (z^2+1)/(z^3(z^2+4))

Integral de (z^2+1)/(z^3(z^2+4)) dx

Solución

Ha introducido [src]

    1                 
    /                 
   |                  
   |        2         
   |       z  + 1     
   |    ----------- dz
   |     3 / 2    \   
   |    z *\z  + 4/   
   |                  
  /                   
3 + 2*I

$$\int\limits_{3 + 2 i}^{1} \frac{z^{2} + 1}{z^{3} \left(z^{2} + 4\right)}\, dz$$

Integral((z^2 + 1)/((z^3*(z^2 + 4))), (z, 3 + 2*i, 1))

Solución detallada

Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{z^{2} + 1}{z^{3} \left(z^{2} + 4\right)} = - \frac{3 z}{16 \left(z^{2} + 4\right)} + \frac{3}{16 z} + \frac{1}{4 z^{3}}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{3 z}{16 \left(z^{2} + 4\right)}\right)\, dz = - \frac{3 \int \frac{z}{z^{2} + 4}\, dz}{16}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{z}{z^{2} + 4}\, dz = \frac{\int \frac{2 z}{z^{2} + 4}\, dz}{2}$
      
      que $u = z^{2} + 4$ .
      
      Luego que $du = 2 z dz$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du$
      
      Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\log{\left(z^{2} + 4 \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(z^{2} + 4 \right)}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \log{\left(z^{2} + 4 \right)}}{32}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{3}{16 z}\, dz = \frac{3 \int \frac{1}{z}\, dz}{16}$
    1. Integral $\frac{1}{z}$ es $\log{\left(z \right)}$ .
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \log{\left(z \right)}}{16}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{1}{4 z^{3}}\, dz = \frac{\int \frac{1}{z^{3}}\, dz}{4}$
    1. Integral $z^{n}$ es $\frac{z^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int \frac{1}{z^{3}}\, dz = - \frac{1}{2 z^{2}}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{8 z^{2}}$
  El resultado es: $\frac{3 \log{\left(z \right)}}{16} - \frac{3 \log{\left(z^{2} + 4 \right)}}{32} - \frac{1}{8 z^{2}}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{z^{2} + 1}{z^{3} \left(z^{2} + 4\right)} = \frac{z^{2} + 1}{z^{5} + 4 z^{3}}$
2. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{z^{2} + 1}{z^{5} + 4 z^{3}} = - \frac{3 z}{16 \left(z^{2} + 4\right)} + \frac{3}{16 z} + \frac{1}{4 z^{3}}$
3. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{3 z}{16 \left(z^{2} + 4\right)}\right)\, dz = - \frac{3 \int \frac{z}{z^{2} + 4}\, dz}{16}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{z}{z^{2} + 4}\, dz = \frac{\int \frac{2 z}{z^{2} + 4}\, dz}{2}$
      
      que $u = z^{2} + 4$ .
      
      Luego que $du = 2 z dz$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du$
      
      Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\log{\left(z^{2} + 4 \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(z^{2} + 4 \right)}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \log{\left(z^{2} + 4 \right)}}{32}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{3}{16 z}\, dz = \frac{3 \int \frac{1}{z}\, dz}{16}$
    1. Integral $\frac{1}{z}$ es $\log{\left(z \right)}$ .
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \log{\left(z \right)}}{16}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{1}{4 z^{3}}\, dz = \frac{\int \frac{1}{z^{3}}\, dz}{4}$
    1. Integral $z^{n}$ es $\frac{z^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int \frac{1}{z^{3}}\, dz = - \frac{1}{2 z^{2}}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{8 z^{2}}$
  El resultado es: $\frac{3 \log{\left(z \right)}}{16} - \frac{3 \log{\left(z^{2} + 4 \right)}}{32} - \frac{1}{8 z^{2}}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{z^{2} + 1}{z^{3} \left(z^{2} + 4\right)} = \frac{z^{2}}{z^{5} + 4 z^{3}} + \frac{1}{z^{5} + 4 z^{3}}$
2. Integramos término a término:
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\frac{z^{2}}{z^{5} + 4 z^{3}} = - \frac{z}{4 \left(z^{2} + 4\right)} + \frac{1}{4 z}$
  2. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{z}{4 \left(z^{2} + 4\right)}\right)\, dz = - \frac{\int \frac{z}{z^{2} + 4}\, dz}{4}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{z}{z^{2} + 4}\, dz = \frac{\int \frac{2 z}{z^{2} + 4}\, dz}{2}$
      
      que $u = z^{2} + 4$ .
      
      Luego que $du = 2 z dz$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du$
      
      Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\log{\left(z^{2} + 4 \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(z^{2} + 4 \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(z^{2} + 4 \right)}}{8}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{1}{4 z}\, dz = \frac{\int \frac{1}{z}\, dz}{4}$
      
      Integral $\frac{1}{z}$ es $\log{\left(z \right)}$ .
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(z \right)}}{4}$
    El resultado es: $\frac{\log{\left(z \right)}}{4} - \frac{\log{\left(z^{2} + 4 \right)}}{8}$
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\frac{1}{z^{5} + 4 z^{3}} = \frac{z}{16 \left(z^{2} + 4\right)} - \frac{1}{16 z} + \frac{1}{4 z^{3}}$
  2. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{z}{16 \left(z^{2} + 4\right)}\, dz = \frac{\int \frac{z}{z^{2} + 4}\, dz}{16}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{z}{z^{2} + 4}\, dz = \frac{\int \frac{2 z}{z^{2} + 4}\, dz}{2}$
      
      que $u = z^{2} + 4$ .
      
      Luego que $du = 2 z dz$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du$
      
      Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\log{\left(z^{2} + 4 \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(z^{2} + 4 \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(z^{2} + 4 \right)}}{32}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{1}{16 z}\right)\, dz = - \frac{\int \frac{1}{z}\, dz}{16}$
      
      Integral $\frac{1}{z}$ es $\log{\left(z \right)}$ .
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(z \right)}}{16}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{1}{4 z^{3}}\, dz = \frac{\int \frac{1}{z^{3}}\, dz}{4}$
      
      Integral $z^{n}$ es $\frac{z^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int \frac{1}{z^{3}}\, dz = - \frac{1}{2 z^{2}}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{8 z^{2}}$
    El resultado es: $- \frac{\log{\left(z \right)}}{16} + \frac{\log{\left(z^{2} + 4 \right)}}{32} - \frac{1}{8 z^{2}}$
  El resultado es: $\frac{3 \log{\left(z \right)}}{16} - \frac{3 \log{\left(z^{2} + 4 \right)}}{32} - \frac{1}{8 z^{2}}$
Ahora simplificar:

$\frac{3 z^{2} \left(2 \log{\left(z \right)} - \log{\left(z^{2} + 4 \right)}\right) - 4}{32 z^{2}}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{3 z^{2} \left(2 \log{\left(z \right)} - \log{\left(z^{2} + 4 \right)}\right) - 4}{32 z^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 z^{2} \left(2 \log{\left(z \right)} - \log{\left(z^{2} + 4 \right)}\right) - 4}{32 z^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                    
 |                                                     
 |     2                     /     2\                  
 |    z  + 1            3*log\4 + z /    1     3*log(z)
 | ----------- dz = C - ------------- - ---- + --------
 |  3 / 2    \                32           2      16   
 | z *\z  + 4/                          8*z            
 |                                                     
/

$$\int \frac{z^{2} + 1}{z^{3} \left(z^{2} + 4\right)}\, dz = C + \frac{3 \log{\left(z \right)}}{16} - \frac{3 \log{\left(z^{2} + 4 \right)}}{32} - \frac{1}{8 z^{2}}$$

Simplificar

Respuesta [src]

                                                      /             2\
  1   3*log(3 + 2*I)   3*log(5)        1         3*log\4 + (3 + 2*I) /
- - - -------------- - -------- + ------------ + ---------------------
  8         16            32                 2             32         
                                  8*(3 + 2*I)

$$- \frac{3 \log{\left(5 \right)}}{32} - \frac{1}{8} - \frac{3 \log{\left(3 + 2 i \right)}}{16} + \frac{1}{8 \left(3 + 2 i\right)^{2}} + \frac{3 \log{\left(4 + \left(3 + 2 i\right)^{2} \right)}}{32}$$

                                                      /             2\
  1   3*log(3 + 2*I)   3*log(5)        1         3*log\4 + (3 + 2*I) /
- - - -------------- - -------- + ------------ + ---------------------
  8         16            32                 2             32         
                                  8*(3 + 2*I)

-1/8 - 3*log(3 + 2*i)/16 - 3*log(5)/32 + 1/(8*(3 + 2*i)^2) + 3*log(4 + (3 + 2*i)^2)/32

Respuesta numérica [src]

(-0.258770875347313 - 0.0321923011224882j)

(-0.258770875347313 - 0.0321923011224882j)

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Integral de (z^2+1)/(z^3(z^2+4)) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3