Integral de (x^3-7)/(x-5) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{3} - 7}{x - 5} = x^{2} + 5 x + 25 + \frac{118}{x - 5}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5 x\, dx = 5 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 25\, dx = 25 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{118}{x - 5}\, dx = 118 \int \frac{1}{x - 5}\, dx$

         1. que $u = x - 5$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 5 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $118 \log{\left(x - 5 \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} + \frac{5 x^{2}}{2} + 25 x + 118 \log{\left(x - 5 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{3} - 7}{x - 5} = \frac{x^{3}}{x - 5} - \frac{7}{x - 5}$

   2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{3}}{x - 5} = x^{2} + 5 x + 25 + \frac{125}{x - 5}$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 5 x\, dx = 5 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{2}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 25\, dx = 25 x$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{125}{x - 5}\, dx = 125 \int \frac{1}{x - 5}\, dx$

            1. que $u = x - 5$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x - 5 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $125 \log{\left(x - 5 \right)}$

         El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} + \frac{5 x^{2}}{2} + 25 x + 125 \log{\left(x - 5 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{7}{x - 5}\right)\, dx = - 7 \int \frac{1}{x - 5}\, dx$

         1. que $u = x - 5$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 5 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 7 \log{\left(x - 5 \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} + \frac{5 x^{2}}{2} + 25 x - 7 \log{\left(x - 5 \right)} + 125 \log{\left(x - 5 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3}}{3} + \frac{5 x^{2}}{2} + 25 x + 118 \log{\left(x - 5 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3}}{3} + \frac{5 x^{2}}{2} + 25 x + 118 \log{\left(x - 5 \right)}+ \mathrm{constant}$