Integral de (13+1/3*x)^-5 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{x}{3} + 13$.

      Luego que $du = \frac{dx}{3}$ y ponemos $3 du$:

      $\int \frac{3}{u^{5}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = 3 \int \frac{1}{u^{5}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3}{4 u^{4}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{3}{4 \left(\frac{x}{3} + 13\right)^{4}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(\frac{x}{3} + 13\right)^{5}} = \frac{243}{\left(x + 39\right)^{5}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{243}{\left(x + 39\right)^{5}}\, dx = 243 \int \frac{1}{\left(x + 39\right)^{5}}\, dx$

      1. que $u = x + 39$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{5}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{4 \left(x + 39\right)^{4}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{243}{4 \left(x + 39\right)^{4}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(\frac{x}{3} + 13\right)^{5}} = \frac{243}{x^{5} + 195 x^{4} + 15210 x^{3} + 593190 x^{2} + 11567205 x + 90224199}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{243}{x^{5} + 195 x^{4} + 15210 x^{3} + 593190 x^{2} + 11567205 x + 90224199}\, dx = 243 \int \frac{1}{x^{5} + 195 x^{4} + 15210 x^{3} + 593190 x^{2} + 11567205 x + 90224199}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{x^{5} + 195 x^{4} + 15210 x^{3} + 593190 x^{2} + 11567205 x + 90224199} = \frac{1}{\left(x + 39\right)^{5}}$

      2. que $u = x + 39$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{5}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{4 \left(x + 39\right)^{4}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{243}{4 \left(x + 39\right)^{4}}$

   Método #4

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(\frac{x}{3} + 13\right)^{5}} = \frac{1}{\frac{x^{5}}{243} + \frac{65 x^{4}}{81} + \frac{1690 x^{3}}{27} + \frac{21970 x^{2}}{9} + \frac{142805 x}{3} + 371293}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\frac{x^{5}}{243} + \frac{65 x^{4}}{81} + \frac{1690 x^{3}}{27} + \frac{21970 x^{2}}{9} + \frac{142805 x}{3} + 371293} = \frac{243}{\left(x + 39\right)^{5}}$

   3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{243}{\left(x + 39\right)^{5}}\, dx = 243 \int \frac{1}{\left(x + 39\right)^{5}}\, dx$

      1. que $u = x + 39$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{5}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{4 \left(x + 39\right)^{4}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{243}{4 \left(x + 39\right)^{4}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{243}{4 \left(x + 39\right)^{4}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{243}{4 \left(x + 39\right)^{4}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{243}{4 \left(x + 39\right)^{4}}+ \mathrm{constant}$