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Resolución de integrales/ -3x^2/ (2+3x)/ (2+3x)/(4-3x^2)

Integral de (2+3x)/(4-3x^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1            
  /            
 |             
 |  2 + 3*x    
 |  -------- dx
 |         2   
 |  4 - 3*x    
 |             
/              
0
∫013x+24−3x2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{3 x + 2}{4 - 3 x^{2}}\, dx 
Integral((2 + 3*x)/(4 - 3*x^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    3x+24−3x2=3x4−3x2+24−3x2\frac{3 x + 2}{4 - 3 x^{2}} = \frac{3 x}{4 - 3 x^{2}} + \frac{2}{4 - 3 x^{2}}

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫3x4−3x2 dx=−∫(−6x4−3x2) dx2\int \frac{3 x}{4 - 3 x^{2}}\, dx = - \frac{\int \left(- \frac{6 x}{4 - 3 x^{2}}\right)\, dx}{2}

      1. que u=4−3x2u = 4 - 3 x^{2}.

        Luego que du=−6xdxdu = - 6 x dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

        ∫(−12u) du\int \left(- \frac{1}{2 u}\right)\, du

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(4−3x2)\log{\left(4 - 3 x^{2} \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(4−3x2)2- \frac{\log{\left(4 - 3 x^{2} \right)}}{2}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫24−3x2 dx=2∫14−3x2 dx\int \frac{2}{4 - 3 x^{2}}\, dx = 2 \int \frac{1}{4 - 3 x^{2}}\, dx

        PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=-3, c=4, context=1/(4 - 3*x**2), symbol=x), False), (ArccothRule(a=1, b=-3, c=4, context=1/(4 - 3*x**2), symbol=x), x**2 > 4/3), (ArctanhRule(a=1, b=-3, c=4, context=1/(4 - 3*x**2), symbol=x), x**2 < 4/3)], context=1/(4 - 3*x**2), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: 2({3acoth⁡(3x2)6for x2>433atanh⁡(3x2)6for x2<43)2 \left(\begin{cases} \frac{\sqrt{3} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}}{6} & \text{for}\: x^{2} > \frac{4}{3} \\\frac{\sqrt{3} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}}{6} & \text{for}\: x^{2} < \frac{4}{3} \end{cases}\right)

    El resultado es: 2({3acoth⁡(3x2)6for x2>433atanh⁡(3x2)6for x2<43)−log⁡(4−3x2)22 \left(\begin{cases} \frac{\sqrt{3} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}}{6} & \text{for}\: x^{2} > \frac{4}{3} \\\frac{\sqrt{3} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}}{6} & \text{for}\: x^{2} < \frac{4}{3} \end{cases}\right) - \frac{\log{\left(4 - 3 x^{2} \right)}}{2}

  3. Ahora simplificar:

    {−log⁡(4−3x2)2+3acoth⁡(3x2)3for x2>43−log⁡(4−3x2)2+3atanh⁡(3x2)3for x2<43\begin{cases} - \frac{\log{\left(4 - 3 x^{2} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{3} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} > \frac{4}{3} \\- \frac{\log{\left(4 - 3 x^{2} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{3} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} < \frac{4}{3} \end{cases}

  4. Añadimos la constante de integración:

    {−log⁡(4−3x2)2+3acoth⁡(3x2)3for x2>43−log⁡(4−3x2)2+3atanh⁡(3x2)3for x2<43+constant\begin{cases} - \frac{\log{\left(4 - 3 x^{2} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{3} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} > \frac{4}{3} \\- \frac{\log{\left(4 - 3 x^{2} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{3} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} < \frac{4}{3} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

{−log⁡(4−3x2)2+3acoth⁡(3x2)3for x2>43−log⁡(4−3x2)2+3atanh⁡(3x2)3for x2<43+constant\begin{cases} - \frac{\log{\left(4 - 3 x^{2} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{3} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} > \frac{4}{3} \\- \frac{\log{\left(4 - 3 x^{2} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{3} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} < \frac{4}{3} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                       //           /    ___\              \                
                       ||  ___      |x*\/ 3 |              |                
                       ||\/ 3 *acoth|-------|              |                
  /                    ||           \   2   /       2      |                
 |                     ||--------------------  for x  > 4/3|      /       2\
 | 2 + 3*x             ||         6                        |   log\4 - 3*x /
 | -------- dx = C + 2*|<                                  | - -------------
 |        2            ||           /    ___\              |         2      
 | 4 - 3*x             ||  ___      |x*\/ 3 |              |                
 |                     ||\/ 3 *atanh|-------|              |                
/                      ||           \   2   /       2      |                
                       ||--------------------  for x  < 4/3|                
                       \\         6                        /
∫3x+24−3x2 dx=C+2({3acoth⁡(3x2)6for x2>433atanh⁡(3x2)6for x2<43)−log⁡(4−3x2)2\int \frac{3 x + 2}{4 - 3 x^{2}}\, dx = C + 2 \left(\begin{cases} \frac{\sqrt{3} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}}{6} & \text{for}\: x^{2} > \frac{4}{3} \\\frac{\sqrt{3} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}}{6} & \text{for}\: x^{2} < \frac{4}{3} \end{cases}\right) - \frac{\log{\left(4 - 3 x^{2} \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
/      ___\    /    ___\   /      ___\ /          /    ___\\   /      ___\    /        ___\   /      ___\ /          /         ___\\
|1   \/ 3 |    |2*\/ 3 |   |1   \/ 3 | |          |2*\/ 3 ||   |1   \/ 3 |    |    2*\/ 3 |   |1   \/ 3 | |          |     2*\/ 3 ||
|- - -----|*log|-------| + |- + -----|*|pi*I + log|-------|| - |- - -----|*log|1 + -------| - |- + -----|*|pi*I + log|-1 + -------||
\2     6  /    \   3   /   \2     6  / \          \   3   //   \2     6  /    \       3   /   \2     6  / \          \        3   //
−(12−36)log⁡(1+233)+(12−36)log⁡(233)−(36+12)(log⁡(−1+233)+iπ)+(36+12)(log⁡(233)+iπ)- \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}\right) \log{\left(1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \right)} + \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}\right) \log{\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3} \right)} - \left(\frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{2}\right) \left(\log{\left(-1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \right)} + i \pi\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{2}\right) \left(\log{\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3} \right)} + i \pi\right) 
=
= 
/      ___\    /    ___\   /      ___\ /          /    ___\\   /      ___\    /        ___\   /      ___\ /          /         ___\\
|1   \/ 3 |    |2*\/ 3 |   |1   \/ 3 | |          |2*\/ 3 ||   |1   \/ 3 |    |    2*\/ 3 |   |1   \/ 3 | |          |     2*\/ 3 ||
|- - -----|*log|-------| + |- + -----|*|pi*I + log|-------|| - |- - -----|*log|1 + -------| - |- + -----|*|pi*I + log|-1 + -------||
\2     6  /    \   3   /   \2     6  / \          \   3   //   \2     6  /    \       3   /   \2     6  / \          \        3   //
−(12−36)log⁡(1+233)+(12−36)log⁡(233)−(36+12)(log⁡(−1+233)+iπ)+(36+12)(log⁡(233)+iπ)- \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}\right) \log{\left(1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \right)} + \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}\right) \log{\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3} \right)} - \left(\frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{2}\right) \left(\log{\left(-1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \right)} + i \pi\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{2}\right) \left(\log{\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3} \right)} + i \pi\right) 
(1/2 - sqrt(3)/6)*log(2*sqrt(3)/3) + (1/2 + sqrt(3)/6)*(pi*i + log(2*sqrt(3)/3)) - (1/2 - sqrt(3)/6)*log(1 + 2*sqrt(3)/3) - (1/2 + sqrt(3)/6)*(pi*i + log(-1 + 2*sqrt(3)/3))
Respuesta numérica [src] 
1.45349317686089
1.45349317686089

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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