Integral de 2cos2x/(sin2x)*2 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 2 \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\, dx = 2 \int \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\, dx$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\, dx = 2 \int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

            Luego que $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}}{2}$

         Método #2

         1. que $u = 2 x$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \sin{\left(u \right)}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\, du = \frac{\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\, du}{2}$

               1. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$