Integral de (e^x/5+5/x*lnx) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{e^{x}}{5}\, dx = \frac{\int e^{x}\, dx}{5}$

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{x}}{5}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- 5 du$:

         $\int \left(- \frac{5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - 5 \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du$

            1. que $u = \frac{1}{u}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- \frac{\log{\left(u \right)}}{u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\log{\left(u \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(u \right)}}{u}\, du$

                  1. que $u = \log{\left(u \right)}$.

                     Luego que $du = \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

                     $\int u\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\log{\left(u \right)}^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}^{2}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\log{\left(u \right)}^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 \log{\left(u \right)}^{2}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{5 \log{\left(x \right)}^{2}}{2}$

      Método #2

      1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $5 du$:

         $\int 5 u\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u\, du = 5 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 u^{2}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{5 \log{\left(x \right)}^{2}}{2}$

   El resultado es: $\frac{e^{x}}{5} + \frac{5 \log{\left(x \right)}^{2}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{e^{x}}{5} + \frac{5 \log{\left(x \right)}^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{e^{x}}{5} + \frac{5 \log{\left(x \right)}^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$