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Resolución de integrales/ x^3+8/ x^3+1/ x^5/(x^3+1)(x^3+8)

Integral de x^5/(x^3+1)(x^3+8) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
  /                   
 |                    
 |     5              
 |    x    / 3    \   
 |  ------*\x  + 8/ dx
 |   3                
 |  x  + 1            
 |                    
/                     
0
∫01x5x3+1(x3+8) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{5}}{x^{3} + 1} \left(x^{3} + 8\right)\, dx 
Integral((x^5/(x^3 + 1))*(x^3 + 8), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=x3u = x^{3}.

      Luego que du=3x2dxdu = 3 x^{2} dx y ponemos dudu:

      ∫u2+8u3u+3 du\int \frac{u^{2} + 8 u}{3 u + 3}\, du

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        u2+8u3u+3=u3+73−73(u+1)\frac{u^{2} + 8 u}{3 u + 3} = \frac{u}{3} + \frac{7}{3} - \frac{7}{3 \left(u + 1\right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u3 du=∫u du3\int \frac{u}{3}\, du = \frac{\int u\, du}{3}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: u26\frac{u^{2}}{6}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫73 du=7u3\int \frac{7}{3}\, du = \frac{7 u}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−73(u+1)) du=−7∫1u+1 du3\int \left(- \frac{7}{3 \left(u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{7 \int \frac{1}{u + 1}\, du}{3}

          1. que u=u+1u = u + 1.

            Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(u+1)\log{\left(u + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −7log⁡(u+1)3- \frac{7 \log{\left(u + 1 \right)}}{3}

        El resultado es: u26+7u3−7log⁡(u+1)3\frac{u^{2}}{6} + \frac{7 u}{3} - \frac{7 \log{\left(u + 1 \right)}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x66+7x33−7log⁡(x3+1)3\frac{x^{6}}{6} + \frac{7 x^{3}}{3} - \frac{7 \log{\left(x^{3} + 1 \right)}}{3}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x5x3+1(x3+8)=x5+7x2−7(2x−1)3(x2−x+1)−73(x+1)\frac{x^{5}}{x^{3} + 1} \left(x^{3} + 8\right) = x^{5} + 7 x^{2} - \frac{7 \left(2 x - 1\right)}{3 \left(x^{2} - x + 1\right)} - \frac{7}{3 \left(x + 1\right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x5 dx=x66\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫7x2 dx=7∫x2 dx\int 7 x^{2}\, dx = 7 \int x^{2}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 7x33\frac{7 x^{3}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−7(2x−1)3(x2−x+1)) dx=−7∫2x−1x2−x+1 dx3\int \left(- \frac{7 \left(2 x - 1\right)}{3 \left(x^{2} - x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{7 \int \frac{2 x - 1}{x^{2} - x + 1}\, dx}{3}

        1. que u=x2−x+1u = x^{2} - x + 1.

          Luego que du=(2x−1)dxdu = \left(2 x - 1\right) dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x2−x+1)\log{\left(x^{2} - x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −7log⁡(x2−x+1)3- \frac{7 \log{\left(x^{2} - x + 1 \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−73(x+1)) dx=−7∫1x+1 dx3\int \left(- \frac{7}{3 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{7 \int \frac{1}{x + 1}\, dx}{3}

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −7log⁡(x+1)3- \frac{7 \log{\left(x + 1 \right)}}{3}

      El resultado es: x66+7x33−7log⁡(x+1)3−7log⁡(x2−x+1)3\frac{x^{6}}{6} + \frac{7 x^{3}}{3} - \frac{7 \log{\left(x + 1 \right)}}{3} - \frac{7 \log{\left(x^{2} - x + 1 \right)}}{3}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x5x3+1(x3+8)=x8+8x5x3+1\frac{x^{5}}{x^{3} + 1} \left(x^{3} + 8\right) = \frac{x^{8} + 8 x^{5}}{x^{3} + 1}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      x8+8x5x3+1=x5+7x2−7(2x−1)3(x2−x+1)−73(x+1)\frac{x^{8} + 8 x^{5}}{x^{3} + 1} = x^{5} + 7 x^{2} - \frac{7 \left(2 x - 1\right)}{3 \left(x^{2} - x + 1\right)} - \frac{7}{3 \left(x + 1\right)}

    3. Integramos término a término:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x5 dx=x66\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫7x2 dx=7∫x2 dx\int 7 x^{2}\, dx = 7 \int x^{2}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 7x33\frac{7 x^{3}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−7(2x−1)3(x2−x+1)) dx=−7∫2x−1x2−x+1 dx3\int \left(- \frac{7 \left(2 x - 1\right)}{3 \left(x^{2} - x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{7 \int \frac{2 x - 1}{x^{2} - x + 1}\, dx}{3}

        1. que u=x2−x+1u = x^{2} - x + 1.

          Luego que du=(2x−1)dxdu = \left(2 x - 1\right) dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x2−x+1)\log{\left(x^{2} - x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −7log⁡(x2−x+1)3- \frac{7 \log{\left(x^{2} - x + 1 \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−73(x+1)) dx=−7∫1x+1 dx3\int \left(- \frac{7}{3 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{7 \int \frac{1}{x + 1}\, dx}{3}

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −7log⁡(x+1)3- \frac{7 \log{\left(x + 1 \right)}}{3}

      El resultado es: x66+7x33−7log⁡(x+1)3−7log⁡(x2−x+1)3\frac{x^{6}}{6} + \frac{7 x^{3}}{3} - \frac{7 \log{\left(x + 1 \right)}}{3} - \frac{7 \log{\left(x^{2} - x + 1 \right)}}{3}

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x5x3+1(x3+8)=x8x3+1+8x5x3+1\frac{x^{5}}{x^{3} + 1} \left(x^{3} + 8\right) = \frac{x^{8}}{x^{3} + 1} + \frac{8 x^{5}}{x^{3} + 1}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=x3u = x^{3}.

        Luego que du=3x2dxdu = 3 x^{2} dx y ponemos dudu:

        ∫u23u+3 du\int \frac{u^{2}}{3 u + 3}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u23u+3=u3−13+13(u+1)\frac{u^{2}}{3 u + 3} = \frac{u}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \left(u + 1\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u3 du=∫u du3\int \frac{u}{3}\, du = \frac{\int u\, du}{3}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: u26\frac{u^{2}}{6}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫(−13) du=−u3\int \left(- \frac{1}{3}\right)\, du = - \frac{u}{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫13(u+1) du=∫1u+1 du3\int \frac{1}{3 \left(u + 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{3}

            1. que u=u+1u = u + 1.

              Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(u+1)\log{\left(u + 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u+1)3\frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{3}

          El resultado es: u26−u3+log⁡(u+1)3\frac{u^{2}}{6} - \frac{u}{3} + \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        x66−x33+log⁡(x3+1)3\frac{x^{6}}{6} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{\log{\left(x^{3} + 1 \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫8x5x3+1 dx=8∫x5x3+1 dx\int \frac{8 x^{5}}{x^{3} + 1}\, dx = 8 \int \frac{x^{5}}{x^{3} + 1}\, dx

        1. que u=x3u = x^{3}.

          Luego que du=3x2dxdu = 3 x^{2} dx y ponemos dudu:

          ∫u3u+3 du\int \frac{u}{3 u + 3}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            u3u+3=13−13(u+1)\frac{u}{3 u + 3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3 \left(u + 1\right)}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫13 du=u3\int \frac{1}{3}\, du = \frac{u}{3}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−13(u+1)) du=−∫1u+1 du3\int \left(- \frac{1}{3 \left(u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{3}

              1. que u=u+1u = u + 1.

                Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(u+1)\log{\left(u + 1 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u+1)3- \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{3}

            El resultado es: u3−log⁡(u+1)3\frac{u}{3} - \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x33−log⁡(x3+1)3\frac{x^{3}}{3} - \frac{\log{\left(x^{3} + 1 \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 8x33−8log⁡(x3+1)3\frac{8 x^{3}}{3} - \frac{8 \log{\left(x^{3} + 1 \right)}}{3}

      El resultado es: x66+7x33−7log⁡(x3+1)3\frac{x^{6}}{6} + \frac{7 x^{3}}{3} - \frac{7 \log{\left(x^{3} + 1 \right)}}{3}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x66+7x33−7log⁡(x3+1)3+constant\frac{x^{6}}{6} + \frac{7 x^{3}}{3} - \frac{7 \log{\left(x^{3} + 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x66+7x33−7log⁡(x3+1)3+constant\frac{x^{6}}{6} + \frac{7 x^{3}}{3} - \frac{7 \log{\left(x^{3} + 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                  
 |                                                   
 |    5                          /     3\    6      3
 |   x    / 3    \          7*log\1 + x /   x    7*x 
 | ------*\x  + 8/ dx = C - ------------- + -- + ----
 |  3                             3         6     3  
 | x  + 1                                            
 |                                                   
/
∫x5x3+1(x3+8) dx=C+x66+7x33−7log⁡(x3+1)3\int \frac{x^{5}}{x^{3} + 1} \left(x^{3} + 8\right)\, dx = C + \frac{x^{6}}{6} + \frac{7 x^{3}}{3} - \frac{7 \log{\left(x^{3} + 1 \right)}}{3}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9005
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
5   7*log(2)
- - --------
2      3
52−7log⁡(2)3\frac{5}{2} - \frac{7 \log{\left(2 \right)}}{3} 
=
= 
5   7*log(2)
- - --------
2      3
52−7log⁡(2)3\frac{5}{2} - \frac{7 \log{\left(2 \right)}}{3} 
5/2 - 7*log(2)/3
Respuesta numérica [src] 
0.882656578693461
0.882656578693461

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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