Integral de e^x/(1+e^x)^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{u^{3} + 3 u^{2} + 3 u + 1}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{u^{3} + 3 u^{2} + 3 u + 1} = \frac{1}{\left(u + 1\right)^{3}}$

      2. que $u = u + 1$.

         Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{2 \left(u + 1\right)^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{2 \left(e^{x} + 1\right)^{2}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{3}} = \frac{e^{x}}{e^{3 x} + 3 e^{2 x} + 3 e^{x} + 1}$

   2. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{u^{3} + 3 u^{2} + 3 u + 1}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{u^{3} + 3 u^{2} + 3 u + 1} = \frac{1}{\left(u + 1\right)^{3}}$

      2. que $u = u + 1$.

         Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{2 \left(u + 1\right)^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{2 \left(e^{x} + 1\right)^{2}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{3}} = \frac{e^{x}}{e^{3 x} + 3 e^{2 x} + 3 e^{x} + 1}$

   2. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{u^{3} + 3 u^{2} + 3 u + 1}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{u^{3} + 3 u^{2} + 3 u + 1} = \frac{1}{\left(u + 1\right)^{3}}$

      2. que $u = u + 1$.

         Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{2 \left(u + 1\right)^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{2 \left(e^{x} + 1\right)^{2}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{1}{2 \left(e^{x} + 1\right)^{2}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{1}{2 \left(e^{x} + 1\right)^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{1}{2 \left(e^{x} + 1\right)^{2}}+ \mathrm{constant}$